外延性

数学中,外延性通常指称某种形式的。可追溯到莱布尼兹的原理,两个数学对象是相等的,如果没有区分它们的检验。例如,给出两个数学函数 fg,我们可以说它们是相等的,如果

f(x) = g(x)

对于在公共函数域 X 内的所有 x。这种外延相等是平常的定义,如果函数范围 Y 对于两个也是公共的。在另一方面,如果我们在类型论的意义上通过附着到它们上的数据来区分函数,这样我们可以选择一个更大的集合比如 Z 作为它们之一的范围,则这种相等不同于“外延”意义的相等。这种意义下外延性可能会失败。另一种意义的相等考虑“函数被计算的过程”,如果这么考虑,通常会同外延性相抵触。

公理化集合论中,外延性被表达为外延公理,它声称两个集合是相等的,当且仅当它们包含相同的元素。在 lambda 演算中,外延性被表达为 eta-变换规则,它允许在指示相同函数的任何两个表达式之间的转换。

举例

考虑从自然数映射的两个函数   ,定义如下:

  • 找到 ,首先将  加到  ,然后乘以  
  • 找到 ,首先将  乘以  ,然后加  

这些功能在外延性的意义上是相同的;给定相同的输入,两个函数总是产生相同的值。但是函数的定义并不相同;但是在内涵定义比较时,这两个函数并不相同。

在自然语言中,类似地存在许多谓词(关系),这些谓词本质上原来可能是不同涵义的,但使用指称作用的外延性就变成同义词了。例如假设在一个城镇中有一个名叫乔的人,他是该镇最老的人。而句中的两个论证谓词“有一个人名”和“是最老的人”在比较内涵定义时明显是截然不同的概念,但解析整句后,对该“城镇”中有个“乔”“是最老的人”的外延性,则意义即等同。

参见

  • 外延
  • 内涵
  • 等于