无穷公理

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读作：

${\displaystyle \exists \mathbf {N} :\varnothing \in \mathbf {N} \land (\forall x:x\in \mathbf {N} \implies x\cup \{x\}\in \mathbf {N} )}$ 

或用非形式化的语言陈述：存在一个集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ ，使得空集在${\displaystyle \mathbb {N} }$ 中，并且只要${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的成员，则${\displaystyle x}$ 与它的单元素集合${\displaystyle \{x\}}$ 此两者的并集也是${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合${\displaystyle X}$ ：对于所有${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle x}$ 的后继${\displaystyle x'}$ 也是${\displaystyle X}$ 的一个元素。

要理解这个公理，首先我们要定义${\displaystyle x}$ 的后继为${\displaystyle x\cup \{x\}}$ 。注意配对公理允许我们形成单元素集合${\displaystyle \{x\}}$ 。 后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，0是空集（${\displaystyle 0=\varnothing }$ ），而1是0的后继：

${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\varnothing \cup \{0\}=\{0\}}$ 

类似地，2 是1 的后继：

${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}}$ 

如此类推。这个定义的推论是对于任何自然数${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle n}$ 等同于由它的所有前驱（predecessor）组成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一个集合，但是只使用其他ZF公理的话并不能做到这一点。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的：首先假定有一个集合${\displaystyle S}$ 包含零，并接着规定对于${\displaystyle S}$ 的所有元素，这个元素的后继也在${\displaystyle S}$ 中。

这个集合${\displaystyle S}$ 可以不只是包含自然数，还包含别的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

${\displaystyle \exists \mathbf {N} \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k\in n(\bot )\lor \exists k\in n(\forall j\in k(j\in n)\land \forall j\in n(j=k\lor j\in k))]\land }$ 
${\displaystyle \forall m\in n[\forall k\in m(\bot )\lor \exists k\in n(k\in m\land \forall j\in k(j\in m)\land \forall j\in m(j=k\lor j\in k))]))}$ 

用非形式化的语言陈述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然数k的后继，并且${\displaystyle k}$ 的每个元素要么是0要么是${\displaystyle k}$ 的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

• Paul Halmos (1960) Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.