Λ演算

λ演算是图灵完备的，也就是说，这是一个可以用于模拟任何图灵机的通用模型。^[1] λ也被用在λ表达式和λ项中，用来表示将一个变量绑定在一个函数上。

λ演算可以是有类型或者无类型的，在有类型λ演算中（上文所述是无类型的），函数只能在参数类型和输入类型符合时被应用。有类型λ演算比无类型λ演算要弱——后者是这个条目的主要部分——因为有类型的λ运算能表达的比无类型λ演算少；与此同时，前者使得更多定理能被证明。例如，在简单类型λ演算中，运算总是能够停止，然而无类型λ演算中这是不一定的（因为停机问题）。目前有许多种有类型λ演算的一个原因是它们被期望能做到更多（做到某些以前的有类型λ演算做不到的）的同时又希望能用以证明更多定理。

λ演算在数学、哲学^[2]、语言学^[3][4]和计算机科学^[5]中都有许多应用。它在编程语言理论中占有重要地位，函数式编程实现了λ演算支持。λ演算在范畴论中也是一个研究热点。^[6]

作为对数学基础研究的一部分，数学家阿隆佐·邱奇在20世纪30年代提出了λ演算。^[7][8] 但最初的λ演算系统被证明是逻辑上不自洽的——在1935年斯蒂芬·科尔·克莱尼和J. B. Rosser举出了Kleene-Rosser悖论（英语：Kleene–Rosser paradox）。^[9][10]

随后，在1936年邱奇把那个版本的关于计算的部分抽出独立发表—现在这被称为无类型λ演算。^[11] 在1940年，他创立了一个计算能力更弱但是逻辑上自洽的系统，这被称为简单类型λ演算。^[12]

直到1960年，λ演算与编程语言的关系被确立了；在这之前它只是一个范式。由于理查德·蒙塔古和其他语言学家将λ演算应用于自然语言语法的研究，λ演算已经开始在语言学^[13]和计算机科学学界拥有一席之地。^[14]

至于为何邱奇选择λ作为符号，连他本人的解释也互相矛盾：最初是在1964年的一封信中，他明确解释称这是来源于《数学原理》一书中的类抽象符号（脱字符），为了方便阅读，他首先将其换成逻辑与符号（${\displaystyle \land }$ ）作为区分，然后又改成形状类似的λ。他在1984年又重申了这一点，但再后来他又表示选择λ纯粹是偶然^[15]。

在λ演算中，每个表达式都代表一个函数，这个函数有一个参数，并且会返回一个值。不论是参数和返回值，也都是一个单参的函数。可以这么说，λ演算中只有一种“类型”，那就是这种单参函数。函数是通过λ表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。

例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2（或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要），而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合的：f x y =(f x) y。

考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式：

(λf.f 3)(λx.x+2) 与 (λx.x + 2) 3 与 3 + 2

是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这样表达：一个单一参数的函数，它的返回值又是一个单一参数的函数（参见柯里化）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式：

(λx.λy.x - y) 7 2 与 (λy.7 - y) 2 与 7 - 2

也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性，无法找到某个通用的函数来判定。

并非所有的lambda表达式都能被归约至上述那样的确定值，考虑

(λx.x x)(λx.x x)

或

(λx.x x x)(λx.x x x)

然后试图把第一个函数作用在它的参数上。(λx.x x)被称为ω 组合子，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω₂，以此类推。若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑。

动机

在数学和计算机科学中，“可计算的”函数是基础观念。对于所谓的可计算性，λ-演算提供了一个简单明确的语义，使计算的性质可以被形式化研究。λ-演算结合了两种简化方式，使得这个语义变得简单。第一种简化是不给予函数一个确定名称，而“匿名”地对待它们。例如，两数的平方和函数

${\displaystyle \operatorname {square\_sum} (x,y)=x^{2}+y^{2}}$ 

可以用匿名的形式重新写为：

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}}$ （理解成一包含x和y的数组被映射到${\textstyle x^{2}+y^{2}}$ ）

同样地，

${\displaystyle \operatorname {id} (x)=x}$ 

可以用匿名的形式重新写为：

${\displaystyle x\mapsto x}$ （即输入是直接对应到它本身。）

第二个简化是λ演算只使用单一个参数输入的函数。如果普通函数需要两个参数，例如${\textstyle \operatorname {square\_sum} }$ 函数，可转成接受单一参数，传给另一个函数中介，而中介函数也只接受一个参数，最后输出结果。例如，

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}}$ 

可以重新写成：

${\displaystyle x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2})}$ 

这是称为柯里化的方法，将多参数的函数转换成为多个中介函数的复合链，每个中介函数都只接受一个参数。 将${\textstyle \operatorname {square\_sum} }$ 函数应用于参数(5,2)，直接产生结果

${\textstyle ((x,y)\mapsto x^{2}+y^{2})(5,2)}$ 

${\textstyle =5^{2}+2^{2}}$ 

${\textstyle =29}$ ,

而对于柯里化转换版的评估，需要再多一步：

${\textstyle {\Bigl (}{\bigl (}x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2}){\bigr )}(5){\Bigr )}(2)}$ 

${\textstyle =(y\mapsto 5^{2}+y^{2})(2)}$  //在内层表达式中${\displaystyle x}$ 的定义为${\displaystyle 5}$ ，这就像β-归约一样。

${\textstyle =5^{2}+2^{2}}$  //${\displaystyle y}$ 的定义为${\displaystyle 2}$ ，再次如同β-归约。

${\textstyle =29}$ 

得出相同结果。

lambda演算

lambda演算是由特定形式语法所组成的一种语言，一组转换规则可操作其中的lambda项。这些转换规则被看作是一个等式理论或者一个操作定义。如上节所述，lambda演算中的所有函数都是匿名的，它们没有名称，它们只接受一个输入变量，柯里化用于实现有多个输入变量的函数。

lambda项

lambda演算的语法将一些表达式定义为有效的lambda演算式，而某一些表达式无效，就像C编程语言中有些字符串有效，有些则不是。有效的lambda演算式称为“lambda项”。

以下三个规则给出了语法上有效的lambda项，如何建构的归纳定义：

• 变量${\displaystyle x}$ 本身就是一个有效的lambda项
• 如果${\displaystyle t}$ 是一个lambda项，而${\displaystyle x}$ 是一个变量，则${\displaystyle (\lambda x.t)}$  是一个lambda项（称为lambda抽象）；
• 如果${\displaystyle t}$ 和${\displaystyle s}$ 是lambda项，那么${\displaystyle (ts)}$ 是一个lambda项（称为应用）。

其它的都不是lambda项。因此，lambda项当且仅当可重复应用这三个规则获取时，才是有效的。一些括号根据某些规则可以省略。例如，最外面的括号通常不会写入。

“lambda抽象”是指一个匿名函数的定义，它将单一输入的${\displaystyle \lambda x.t}$ 替换成${\displaystyle t}$ 的表达式，所以产生了一个匿名函数，它采用${\displaystyle x}$ 的值并返回${\displaystyle t}$ 。例如，${\displaystyle \lambda x.x^{2}+2}$ 是表示使用函数${\displaystyle f(x)=x^{2}+2}$ 作为${\displaystyle t}$ 项的一个lambda抽象。lambda抽象只是先“设置”了函数定义，还没使用它。这个抽象在${\displaystyle t}$ 项中绑定了变量${\displaystyle x}$ 。一个应用${\displaystyle ts}$ 表示将函数${\displaystyle t}$ 应用在输入${\displaystyle s}$ ，亦即对输入${\displaystyle s}$ 使用函数${\displaystyle t}$ 产生${\displaystyle t(s)}$ 。

lambda演算中并没有变量声明的概念。如${\displaystyle \lambda x.x+y}$ （即${\displaystyle f(x)=x+y}$ ）的定义中，lambda演算将${\displaystyle y}$ 当作尚未定义的变量。lambda抽象${\displaystyle \lambda x.x+y}$ 在语法上是有效的，并表示将其输入添加到未知${\displaystyle y}$ 的函数。

可用圆括弧对来消除歧义。例如，${\displaystyle \lambda x.((\lambda x.x)x)}$ 和${\displaystyle (\lambda x.(\lambda x.x))x}$ 表示不同的项（尽管它们刚好化简到相同值）。这里第一个例子定义了一个包含子函数的抽象，并将子函数应用于x（先应用后传回）的结果；而第二个例子定义了一个传回任何输入的函数，然后在应用过程中传回对输入为x的应用（返回函数然后应用）。

操作函数的函数

在lambda演算中，函数被认为是头等对象，因此函数可以当作输入，或作为其它函数的输出返回。

例如，${\displaystyle \lambda x.x}$ 表示映射到本身的函数，${\displaystyle x\mapsto x}$ 和${\displaystyle (\lambda x.x)y}$ 表示将这个函数应用于${\displaystyle y}$ 。此外，${\displaystyle (\lambda x.y)}$ 则表示无论输入为何，始终返回${\displaystyle y}$ 值的常量函数${\displaystyle x\mapsto y}$ 。lambda演算中的函数应用是左结合的，因此${\displaystyle stx}$ 表示${\displaystyle (st)x}$ 。

有几个“等价”和“化简”的概念，允许将各个lambda项“缩减”为“相同”的lambda项。

${\displaystyle \alpha }$ -等价

对于lambda项，等价的基本形式定义，是${\displaystyle \alpha }$ -等价。它捕捉了直觉概念，在lambda抽象中一个绑定变量的特别选择（通常）并不重要。 比如，${\displaystyle \lambda x.x}$ 和${\displaystyle \lambda y.y}$ 是${\displaystyle \alpha }$ -等价的lambda项，它们都表示相同的函数（自映射函数）；但如${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 项则不是${\displaystyle \alpha }$ -等价的，因为它们并非以lambda抽象方式绑定的。 在许多演示中，通常会确定${\displaystyle \alpha }$ -等价的lambda项。

为了能够定义${\displaystyle \beta }$ -归约，需要以下定义：

自由变量

所谓的自由变量是那些在lambda抽象不受到绑定的变量。表达式中的一组自由变量定义归纳如下：

• ${\displaystyle x}$ 的自由变量就只是${\displaystyle x}$ 
• ${\displaystyle \lambda x.t}$ 的自由变量集合，是在${\displaystyle t}$ 中移除了${\displaystyle x}$ 的自由变量集合。
• ${\displaystyle ts}$ 的自由变量是${\displaystyle t}$ 的一组自由变量，与${\displaystyle s}$ 的一组自由变量，这两项变量的并集。

例如，代表映射自身的${\displaystyle \lambda x.x}$ ，其中的lambda项没有自由变量，但是在函数${\displaystyle \lambda x.yx}$ 中的lambda项，有一个自由变量${\displaystyle y}$ 。

避免捕获的替换记法

假设${\displaystyle t}$ ，${\displaystyle s}$ 和${\displaystyle r}$ 是lambda项，而${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是变量。如果写成${\displaystyle t[x:=r]}$ 是一种避免被捕获的记法方式，表示在${\displaystyle t}$ 这个lambda项中，以${\displaystyle r}$ 来替换${\displaystyle x}$ 变量的值。这定义为：

• ${\displaystyle x[x:=r]=r}$ ；
• ${\displaystyle y[x:=r]=y}$ ，如果${\displaystyle x\neq y}$ ；
• ${\displaystyle (ts)[x:=r]=(t[x:=r])(s[x:=r])}$ ；
• ${\displaystyle (\lambda x.t)[x:=r]=\lambda x.t}$ ；
• 如果${\displaystyle x\neq y}$ 而且${\displaystyle y}$ 不在lambda项${\displaystyle r}$ 的自由变量中，则${\displaystyle (\lambda y.t)[x:=r]=\lambda y.(t[x:=r])}$ 。对于lambda项${\displaystyle r}$ ，变量${\displaystyle y}$ 被称为是“新鲜”的。

例如，${\displaystyle (\lambda x.x)[y:=y]=\lambda x.(x[y:=y])=\lambda x.x}$  和${\displaystyle ((\lambda x.y)x)[x:=y]=((\lambda x.y)[x:=y])(x[x:=y])=(\lambda x.y)y}$ 。

新鲜度条件（要求${\displaystyle y}$ 不在lambda项${\displaystyle r}$ 中的自由变量中）对于确保替换不会改变函数的意义很重要。例如，忽视新鲜度条件的替代：${\displaystyle (\lambda x.y)[y:=x]=\lambda x.(y[y:=x])=\lambda x.x}$ 。此替换会将原本意义为常量函数的${\displaystyle \lambda x.y}$ ，转换成意义为映射自身函数的${\displaystyle \lambda x.x}$ 。

一般来说，在无法满足新鲜度条件的情况，可利用${\displaystyle \alpha }$ -重命名使用一个合适的新变量来补救，切换回正确的替换概念；比如在${\displaystyle (\lambda x.y)[y:=x]}$ 中，使用一个新变量${\displaystyle z}$ 重命名这个lambda抽象，获取${\displaystyle (\lambda z.y)[y:=x]=\lambda z.(y[y:=x])=\lambda z.x}$ ，则替换就能保留原本函数的义涵。

${\displaystyle \beta }$ -归约

β-归约规定了形式如${\displaystyle (\lambda x.t)s}$ 的应用，可以化简成${\displaystyle t[x:=s]}$ 项。符号记法${\displaystyle (\lambda x.t)s\to t[x:=s]}$ 用于表示${\displaystyle (\lambda x.t)s}$  经过β-归约转换为${\displaystyle t[x:=s]}$ 。例如，对于每个${\displaystyle s}$ ，可转换为${\displaystyle (\lambda x.x)s\to x[x:=s]=s}$ 。这表明${\displaystyle \lambda x.x}$ 实际上的应用是映射自身函数。同样地，${\displaystyle (\lambda x.y)s\to y[x:=s]=y}$ ，表明了${\displaystyle \lambda x.y}$ 是一个常量函数。

lambda演算可视为函数式编程语言的理想化版本，如Haskell或ML语言。在这种观点下，β-归约对应于一组计算步骤。 这个步骤重复应用β-转换，一直到没有东西能再被化简。在无类型lambda演算中，如本文所述，这个归约过程可能无法终止， 比如${\displaystyle \Omega =(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)}$ ，是个特殊的lambda项。这里 ${\displaystyle (\lambda x.xx)(\lambda x.xx)\to (xx)[x:=\lambda x.xx]=(x[x:=\lambda x.xx])(x[x:=\lambda x.xx])=(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)}$  也就是说，该lambda项在一次β-归约中化简到本身，因此归约过程将永远不会终止。

无类型lambda演算的另一方面是它并不区分不同种类的资料。例如，需要编写只针对数字操作的功能。然而，在无类型的lambda演算中，没有办法避免函数被应用于真值、字符串或其它非数字对象。

形式化地，我们从一个标识符（identifier）的可数无穷集合开始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x₁, x₂, ...}，则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF范式表达的上下文无关文法描述：

1. <表达式> ::= <标识符>
2. <表达式> ::= (λ<标识符>.<表达式>)
3. <表达式> ::= (<表达式> <表达式>)

头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda抽象（规则2）和函数作用（规则3）中的括弧在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：（1）函数的作用是左结合的，和（2）lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。

类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数，因为变量y的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。一个lambda表达式的自由变量的集合是通过下述规则（基于lambda表达式的结构归纳地）定义的：

1. 在表达式V中，V是变量，则这个表达式里自由变量的集合只有V。
2. 在表达式λV .E中（V是变量，E是另一个表达式），自由变量的集合是E中自由变量的集合减去变量V。因而，E中那些V被称为绑定在λ上。
3. 在表达式 (E E')中，自由变量的集合是E和E'中自由变量集合的并集。

例，对于表达式λx.x（我们将第一个x视作变量，第二个x视作表达式），其中表达式x中，由1，它的自由变量集合是x，又由2，表达式λx.x的自由变量的集合是表达式x的自由变量集合减去变量x。所以对于表达式λx.x，它的自由变量集合是空。
例，对于表达式λx.x x由形式化描述的第3点，我们把它看作((λx.x)(x))，(λx.x)和(x)分别为表达式，由上一例知道(λx.x)的自由变量集合为空，表达式(x)的变量集合为变量x，所以对于λx.x x，它的自由变量集合为x与空的并，即x。

在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系(在此用==标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。

归约的操作包括：

α-变换

Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说λx.x和λy.y是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。

Alpha-变换规则陈述的是，若V与W均为变量，E是一个lambda表达式，同时E[V:=W]是指把表达式E中的所有的V的自由出现都替换为W，那么在W不是 E中的一个自由出现，且如果W替换了V，W不会被E中的λ绑定的情况下，有

λV.E == λW.E[V:=W]

这条规则告诉我们，例如λx.(λx.x) x这样的表达式和λy.(λx.x) y是一样的。

β-归约

Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的E'的自由出现在E [V:=E']中仍然是自由的情况下，有

((λV.E) E') == E [V:=E']

成立。

==关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系（即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系）。

对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何beta归约的lambda表达式被称为Beta范式。并非所有的lambda表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形式参数替换为实际参数，直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当lambda表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser定理说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。

η-变换

前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念，在这里外延性指的是，对于任一给定的参数，当且仅当两个函数得到的结果都一致，则它们将被视同为一个函数。Eta-变换可以令 ${\displaystyle \lambda x.fx}$  和 ${\displaystyle f}$  相互转换，只要 ${\displaystyle x}$  不是 ${\displaystyle f}$  中的自由变量。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的：

若 ${\displaystyle f}$  与 ${\displaystyle g}$  外延地等价，即，${\displaystyle fa==ga}$  对所有的 ${\displaystyle \lambda }$  表达式 ${\displaystyle a}$ 成立，则当取 ${\displaystyle a}$  为在 ${\displaystyle f}$  中不是自由出现的变量 ${\displaystyle x}$ 时，我们有${\displaystyle f(x)==g(x)}$ ，因此 ${\displaystyle \lambda x.fx==\lambda x.gx}$ ，由eta-变换f == g。所以只要eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。

相反地，若外延性是有效的，则由beta-归约，对所有的y有(λx .f x) y == f y，可得λx .f x == f，即eta-变换也是有效的。

基本的lambda算法可用于建构布尔值，算术，数据结构和递归的模型，如以下各小节所述。

lambda演算中的算术

在lambda演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是邱奇数，下面是它们的定义：

0 = λf.λx.x
1 = λf.λx.f x
2 = λf.λx.f (f x)
3 = λf.λx.f (f (f x))

以此类推。直观地说，lambda演算中的数字n就是一个把函数f作为参数并以f的n次幂为返回值的函数。换句话说，邱奇整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数f为参数，返回另一个单一参数的函数。

(注意在邱奇原来的lambda演算中，lambda表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义0)在邱奇整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以n为参数，返回n + 1：

SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)

加法是这样定义的：

PLUS = λm.λn.λf.λx.m f (n f x)

PLUS可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证

PLUS 2 3 

与5是否等价。乘法可以这样定义：

MULT = λm.λn.m (PLUS n) 0,

即m乘以n等于在零的基础上m次加n。另一种方式是

MULT = λm.λn.λf.m (n f)

正整数n的前驱元（predecessesor）PRED n = n - 1要复杂一些：

PRED = λn.λf.λx.n (λg.λh.h (g f)) (λu.x) (λu.u)

或者

PRED = λn.n(λg.λk.(g 1) (λu.PLUS(g k) 1) k) (λl.0) 0

注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k表示的是，当g(1)是零时，表达式的值是k，否则是g(k)+ 1。

逻辑与谓词

习惯上，下述两个定义（称为邱奇布尔值）被用作TRUE和FALSE这样的布尔值：

TRUE := λx.λy.x

FALSE := λx.λy.y

(注意FALSE等价于前面定义邱奇数零)

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑运算：

AND := λp q.p q FALSE

OR := λp q.p TRUE q

NOT := λp.p FALSE TRUE

IFTHENELSE := λp x y.p x y

我们现在可以计算一些逻辑函数，比如：

AND TRUE FALSE

≡(λp q.p q FALSE) TRUE FALSE →_β TRUE FALSE FALSE

≡(λx y.x) FALSE FALSE →_β FALSE

我们见到AND TRUE FALSE等价于FALSE。

“谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是ISZERO，当且仅当其参数为零时返回真，否则返回假：

ISZERO := λn.n (λx.FALSE) TRUE

运用谓词与上述TRUE和FALSE的定义，使得"if-then-else"这类语句很容易用lambda演算写出。

有序对

有序对（2-元组）数据类型可以用TRUE、FALSE和IF来定义。

CONS := λx y.λp.IF p x y

CAR := λx.x TRUE

CDR := λx.x FALSE

链表数据类型可以定义为，要么是为空列表保留的值（e.g.FALSE），要么是CONS一个元素和一个更小的列表。

lambda演算出现在相当大量的编程习惯用法中，其中许多编程语言最初以lambda演算作为语义基础，在此背景下开发的；有效地利用lambda演算作为基底。因为几个编程语言部分含括了lambda演算（或者非常相似的东西），所以这些技术也可以在实际的编程中见到，但有可能被认为是模糊或外来的。

命名常量

在lambda演算中，库将采用预先定义好的函数集合，其中lambda项仅仅是特定的常量。纯粹的lambda算法并不具有命名常量的概念，因为所有的原子λ项都是变量；但是在程序主体中，我们可将一个变量当成常量的名称，利用lambda抽象把这个变量绑定，并将该lambda抽象应用于预期的定义，来模拟命名常量的作法。因此在N（“主程序”的另一个lambda项）中，要以f来表示M（一些明确的lambda项），则写成如下：

(λf.N) M

作者经常引入类似如let的语法糖，允许以更直观的次序撰写上述内容：

let f = M in N

通过等号链接这个命名常量，即可将lambda演算“编程”的一个lambda项，写为零或多个函数的定义，而使用构成程序主体的那些函数。这个let显著的限制，是在M中并没有定义f名称，因为M不在绑定f的lambda抽象范畴之内；这意味着递归函数定义不能以let来使用M。更进步的letrec语法糖允许以直觉的方式编写递归函数定义，而不需用到不动点组合子。

递归与不动点

递归是使用函数自身的函数定义；在表面上，lambda演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子，阶乘函数f(n)递归的定义为

f(n):= if n = 0 then 1 else n·f(n-1)。

在lambda演算中，你不能定义包含自身的函数。要避免这样，你可以开始于定义一个函数，这里叫g，它接受一个函数f作为参数并返回接受n作为参数的另一个函数：

g := λf n.(if n = 0 then 1 else n·f(n-1))。

函数g返回要么常量1，要么函数f对n-1的n次应用。使用ISZERO谓词，和上面描述的布尔和代数定义，函数g可以用lambda演算来定义。

但是，g自身仍然不是递归的；为了使用g来创建递归函数，作为参数传递给g的f函数必须有特殊的性质。也就是说，作为参数传递的f函数必须展开为调用带有一个参数的函数g -- 并且这个参数必须再次f函数!

换句话说，f必须展开为g(f)。这个到g的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数f将再次出现，并将被再次展开为g(f)并继续递归。这种函数，这里的f = g(f)，叫做g的不动点，并且它可以在lambda演算中使用叫做悖论算子或不动点算子来实现，它被表示为Y -- Y组合子：

Y = λg.(λx.g(x x))(λx.g(x x))

在lambda演算中，Y g是g的不动点，因为它展开为g(Y g)。现在，要完成我们对阶乘函数的递归调用，我们可以简单的调用 g(Y g)n，这里的n是我们要计算它的阶乘的数。

比如假定n = 5，它展开为：

(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1)))) 5

if 5 = 0 then 1 else 5·(g(Y g，5-1))

5·(g(Y g)4)

5·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 4)

5·(if 4 = 0 then 1 else 4·(g(Y g，4-1)))

5·(4·(g(Y g)3))

5·(4·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 3))

5·(4·(if 3 = 0 then 1 else 3·(g(Y g，3-1))))

5·(4·(3·(g(Y g)2)))

...

等等，递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点，因此，使用Y所有递归定义的函数都可以表达为lambda表达式。特别是，我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。

标准化的组合子名称

某一些lambda项有普遍接受的名称：

I := λx.x

K := λx.λy.x

S := λx.λy.λz.x z (y z)

B := λx.λy.λz.x (y z)

C := λx.λy.λz.x z y

W := λx.λy.x y y

U := λx.λy.y (x x y)

ω := λx.x x

Ω := ω ω

Y := λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x))

其中有几个在“消除lambda抽象”中有直接的应用，将lambda项变为组合演算的术语。

消除lambda抽象

如果N是一个没有λ-抽象的lambda项，但可能包含了命名常量（组合子），则存在一个lambda项T(x,N)，这相同于一个缺少λ-抽象（除了作为命名常量的一部分，如果这些被认为是非原子的）的λx.N；也可以被视为匿名变量，就如同T(x,N)从N之中删除所有出现的x，同时仍然允许在N包含x的位置替换参数值。

转换函数T可由下式定义：

T(x, x) := I

T(x, N) := K N if x is not free in N.

T(x, M N) := S T(x, M) T(x, N)

在这两种情况下，形式T(x,N)P可借由使初始的组合子I，K或S获取参数P而化简， 就像(λx.N) P经过β-归约一样。I返回那个参数。K则将参数抛弃，就像(λx.N)，如果x在N中不是以自由变量出现。S将参数传递给应用程序的两个子句，然后将第一个结果应用到第二个的结果之上。

组合子B和C类似于S，但把参数传递给应用的一个子项（B传给“参数”子项，而C传给“函数”子项），如果子项中没有出现x，则保存后续的K。与B和C相比，S组合子实际上混合了两个功能： 重新排列参数，并复制一个参数，以便它可以在两个地方使用。W组合子只做后者，产生了SKI组合子演算的B，C，K，W系统。

自然数的函数F: N → N是可计算函数，当且仅当存在着一个lambda表达式f，使得对于N中的每对x, y都有F(x) = y当且仅当f x == y，这里的x和y分别是对应于x和y的邱奇数。这是定义可计算性的多种方式之一；关于其他方式和它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题。

匿名函数

比如计算平方的函数 square 在 Lisp 中可以表示为如下的 lambda 表达式

(lambda (x) (* x x))

符号 lambda 创建一个匿名函数，给定参数列表 (x) ，以及一个作为函数体的表达式 (* x x)。 匿名函数有时称为 lambda 表达式。

很多命令式语言都有函数指针或者类似的机制。但是函数指针并不是类型中的一等公民，函数是一等公民当且仅当函数可以在运行时创建。 下面一些语言支持函数的运行时创建： Smalltalk、 JavaScript、 Kotlin、 Scala、 Python3、 C# ("delegates")、 C++11等。

化简策略

关于复杂度的注释

并发与并发

• 邱奇-图灵论题
• 递归函数
• 可计算函数
• 柯里化

• L.Allison, Some executable λ-calculus examples （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Georg P.Loczewski, The Lambda Calculus and A++ （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• To Dissect a Mockingbird: A Graphical Notation for the Lambda Calculus with Animated Reduction
• 人物介绍
• 神奇的λ演算 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• (译) The Y combinator (Slight Return)
• Λ运算︰渊源介绍 （页面存档备份，存于互联网档案馆）