决定性问题

在可计算性理论与计算复杂性理论中，决定性问题，亦称判定问题，（英语：Decision problem）是一个在某些形式系统回答“是”或“否”的问题。

对于判定性问题而言，任何一个输入的输出要么是是（yes），要么是否（no）

举例来说，“判定给定的自然数是否为素数”是一个决定性问题。另一个具体的例子是：“给两个数字 x 与 y，x 是否可以整除 y？”，此问题依据其 x 与 y 的值可回答是或否。以算法形式给出的解决决定性问题的方法称为决策程序（decision procedure）。对决定性问题“给两个数字 x 与 y，x 是否可以整除 y？”决策程序将确定 x 是否整除 y。一种这样的算法是长除法，如果余数为 0，则原决定性问题的答案为“是”，否则为“否”。若某决定性问题可以被一些算法所解决，则称此问题可决定（decidable）。

决定性问题与功能性问题（Function problem，或复杂型问题）密切相关，功能性问题的答案内容，较简单的是与非复杂许多。示例问题：“给予一个正整数x，则哪些数可整除 x？”

另一个与上述两类问题相关的是优化问题（Optimization problem），此问题关心的是查找特定问题的最佳答案。

计算复杂度的领域中，分类可决定问题的依据在于“此问题有多难被解决”。在此标准下，所谓的“难”是以解决某问题最有效率的算法所花费的计算资源为依据。在递归理论中，非决定性问题由图灵度决定，指的是一种在任何解答中隐含的不可计算性量词。

计算性理论的研究集中在决定性问题上。在§ 与函数问题的等价性中，并没有失去其普遍性。

定义

决定性问题指的是在一个数量为无限大的输入集合中，可产出任何是或非解答的问题之集合。因此传统上定义决定性问题，乃依其解答为“是”的输入之集合。在此情形下，一决定性问题亦等于一形式语言。

形式上，决定性问题是一自然数子集A。借由使用哥德尔数，也可学习诸如形式语言的其他集合。非正规的定义决定性问题，就是判别一个给予的数字是否在此集合内。

一决定性问题若其A是一个递归集合，则称做可决定的（decidable）或有效可解（effectively solvable）。若其A是一递归可枚举集合则称为部分可决定的（partially decidable）、半可决定的（semidecidable）、可解的（solvable）或可证明（provable）。除此之外，此问题称为不可决定的。

例子

一个经典可决定的决定性问题是素数问题。借由测试每一个可能的约数，有可能有效决定一个自然数是否为素数。尽管存在很多性能更佳的素数判定方法，任何有效方法的存在就已足够创建可决定性。

重要的不可决定的决定性问题包括停机问题，其他请见不可决定的问题列表。在计算复杂性理论中，完备的决定性问题通常用来判别其他决定性问题的复杂度类。重要的实例包括SAT问题与其数变种，还有无向与有向图可达性问题。

历史

德语“Entscheidungsproblem”，亦即“判定性问题”（Decision-problem），最早出自于大卫·希尔伯特的话：“在1928年的会议上，希尔伯特精确地描述了他的问题。首先，数学是否具有完备性？……其次，数学是否具有兼容性？……再次，数学是否具有判定性？这些问题的意思是，是否存在这样一种确定的方法，在理论上可适用于任何假设，并且能够保证对无论是否正确的假设都能给出一个正确的结果”（Hodeges，p. 91）。希尔伯特相信“在数学上没有‘ignorabimus’”，亦即“我们将无从得之”。需要了解更多信息请参见大卫·希尔伯特和停机问题。

与函数问题的等价性

参考

  • Hodges, A., Alan Turing: The Enigma, Simon and Schuster, New York. Cf Chapter "The Spirit of Truth" for some more history that led to Turing's work.
Hodges references a biography of David Hilbert: Constance Reid, Hilbert（George Allen & Unwin; Springer-Verlag, 1970）. There are apparently more recent editions.
  • Kozen, D.C.（1997）, Automata and Computability, Springer.
  • Hartley Rogers, Jr., The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, MIT Press, ISBN 0-262-68052-1 (paperback), ISBN 0-07-053522-1
  • Sipser, M.（1996）, Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing Co.
  • Robert I. Soare (1987), Recursively Enumerable Sets and Degrees, Springer-Verlag, ISBN 0-387-15299-7