柯里化

柯里化是一种处理函数中附有多个参数的方法，并在只允许单一参数的框架中使用这些函数。例如，一些分析技术只能用于具有单一参数的函数。现实中的函数往往有更多的参数。弗雷格表明，为单一参数情况提供解决方案已经足够了，因为可以将具有多个参数的函数转换为一个单参数的函数链。这种转变是现在被称为“柯里化”的过程。

在数学分析或计算机编程中，所有可能遇到的“普通”函数都可以被使用。但是，有些类别不可能使用柯里化；确实允许柯里化的最普通的类别是闭合的monoidal类别。一些编程语言几乎总是使用curried函数来实现多个参数；值得注意的例子是 ML 和 Haskell，在这两种情况下，所有函数都只有一个参数。这个属性是从lambda演算继承而来的，其中多参数的函数通常以柯里形式表示。

柯里化与部分求值是相关的，但不完全相同。在实作中，闭包的编程技术可以用来执行部分求值和一种卷曲，通过将参数隐藏在使用柯里化函数的环境中。

部分求值

柯里化有如仿效接受多个参数的函数评估过程，若以纸笔手工作业，要周密地写出评估过程中的所有步骤。

例如，给定某一函数 ${\displaystyle f(x,y)=y/x}$ :

要评估 ${\displaystyle f(2,3)}$  时，首先以 ${\displaystyle 2}$ 代入 ${\displaystyle x}$ 

因为结果会是函数 ${\displaystyle y}$ 的输出，所以可定义为一个新函数 ${\displaystyle g(y)}$  为 ${\displaystyle g(y)=f(2,y)=y/2}$ 

接下来将 ${\displaystyle y}$ 参数以 ${\displaystyle 3}$ 替换，产生了 ${\displaystyle g(3)=f(2,3)=3/2}$ 

在纸上使用传统符号，上述过程通常是一次代入两个参数 ${\displaystyle x,y}$ 的值就完成了。
而每个参数其实是依次序替换，在每一步替换的中介函数只能接受单一个参数。

以上范例有点缺陷，虽然应用上类似函数的部分求值。对柯里化的过程来说，但并非完全相同（见下文）。

示例

柯里化（Currying）是产生一系列连锁函数的一种方法，其中每个函数只有一个参数。借由另一个柯里化之后的新函数，传回其它剩余参数的功能，将原本以多个参数应用的函数“隐藏”起来，如下所述。

给定带有 x和y两个参数的函数 f，也就是，

${\displaystyle f(x,y)}$ 

然后可以构造一个与原来的 f 相关的新函数 h_x。这个函数的形式只有单一参数 y，并给定该参数，则 h_x 返回 f(x,y)。也就是，

${\displaystyle h_{x}(y)=f(x,y)}$ .

在这里应该了解 h上的下标 x是当成隐藏作用的符号设施，或者说把一个参数放在一边，使原函数变成只带一个参数。柯里化（Currying）提供了符号标记上的技巧，将函数因而抽象化。

这个技巧要利用 map或函数构造子。符号 ${\displaystyle \mapsto }$ 用于表示抽象化的实际行为。 例如以 ${\displaystyle y\mapsto z}$  这样子来表示：某个函数将一个参数 y映射到结果 z。

然后考虑从 h_x 记号中删掉下标 x，就得到了一个 柯里化表示的代表符 h； 而成为另一个给予 x 能把其“值”传回的不同函数 h_x；它恰好是一个函数构造，其映射过程 可以用 ${\displaystyle y\mapsto f(x,y)}$  语句来表达，或者描述为一个将参数 y映射到结果 z的函数。也就是，

${\displaystyle h_{x}=(y\mapsto f(x,y))}$ ,

用不同代表符号（但意义相同）来看，

${\displaystyle h(x)=(y\mapsto f(x,y))}$ 

函数 h 本身现在可用 h_x 相似的表示，并写成

${\displaystyle h=(x\mapsto (y\mapsto f(x,y)))}$ 

能够负责并处理对开头涉及的函数参数。鉴于上述情况，柯里化的行为可被理解为一函数，给予某些任意的 f，即涉及相关的 h函数可以产生 h的所述功能；论及 f。也就是，

${\displaystyle {\text{curry}}=(f\mapsto h)}$ 

或相当于

${\displaystyle {\text{curry}}(f)=h}$ 

这说明了柯里化的基本性质：它是参数重新定位的机制，将原函数中的每一个参数绑定到不同的新函数，而返回另一个相关的函数。也就是给定函数 f原本传回一个“值”，则柯里化“构造”了一个新函数 h 而传回的是涉及 f的函数。另一种理解柯里化的不同方式，则意识到它只是一个代数游戏，符号的句法重新排列。人们不会问这些符号的“含义”是什么; 一个人只同意他们的重新排列规则。 要看出这一点，注意原来的函数 f本身可能写成

${\displaystyle f=((x,y)\mapsto f(x,y))}$ 

与上面的函数 h互相比较，可以看出这两种形式都重新排列了括号，以及将逗号转换为箭头。回到前面的例子，

${\displaystyle f(x,y)={\frac {y}{x}}}$ 

然后有，

${\displaystyle g=h_{2}=h(2)=(y\mapsto f(2,y))}$ 

作为上例柯里化的相等物。 添加一个参数到 g 然后给出

${\displaystyle g(y)=h_{2}(y)=h(2)(y)=f(2,y)={\frac {y}{2}}}$ 

以及

${\displaystyle g(3)=h_{2}(3)=h(2)(3)=f(2,3)={\frac {3}{2}}.}$ 

剥除参数的方法或许更容易地理解，例如有四个参数的函数：

${\displaystyle f(x,y,z,w)}$ 

经过上述操作，导出为形式

${\displaystyle h_{x}=((y,z,w)\mapsto f(x,y,z,w))}$ 

这应用到三元组之上可得到

${\displaystyle h_{x}(y,z,w)=f(x,y,z,w)}$ .

然后适当地写成柯里化形式

${\displaystyle h=(x\mapsto ((y,z,w)\mapsto f(x,y,z,w)))}$ 

一直继续玩着重新安排符号的代数游戏，最终导出了完全的柯里化形式

${\displaystyle x\mapsto (y\mapsto (z\mapsto (w\mapsto f(x,y,z,w))))}$ 

对箭头运算符一般理解是右结合的，所以上面大部分的括号是多余的，在意义不变的情况下可以删除掉。因此，写成了很常见的

${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto w\mapsto f(x,y,z,w)}$ 

也就是函数 f完全的柯里化形式。

从非形式的一般定义开始，柯里化是最容易理解的，然后再塑造它以适应许多不同的领域。
首先说明一些符号的标记法。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$  表示从 ${\displaystyle X}$  映射到 ${\displaystyle Y}$  的函数${\displaystyle f}$ 。

${\displaystyle X\to Y}$  表示从 ${\displaystyle X}$  到 ${\displaystyle Y}$  的所有函数。

这里，${\displaystyle X}$  和 ${\displaystyle Y}$  可以是集合、或者是类型，或者它们可以是其它型别的物件，如下所述。

令 ${\displaystyle X\times Y}$ 表示有序对，即笛卡尔乘积。

给定类型为${\displaystyle f\colon (X\times Y)\to Z}$  的函数${\displaystyle f}$ ，柯里化即构造或创建一个新的函数：

${\displaystyle {\text{curry}}(f)\colon X\to (Y\to Z)}$ 

也就是说，${\displaystyle {\text{curry}}(f)}$ 取一个类型为 ${\displaystyle X}$ 的参数，并返回一个类型为 ${\displaystyle Y\to Z}$ 的函数。Uncurrying则相反。

集合论

数理领域的集合论中，符号 ${\displaystyle Y^{X}}$ 用于表示从 ${\displaystyle X}$ 集合映射到 ${\displaystyle Y}$ 集合的函数。柯里化是指从 ${\displaystyle B\times C}$ 映射到 ${\displaystyle A}$ 的 ${\displaystyle A^{B\times C}}$ 函数，和从 ${\displaystyle B}$ 之中映射，由 ${\displaystyle C}$ 到${\displaystyle A}$ 的 ${\displaystyle \left(A^{C}\right)^{B}}$ 函数，这些组合的自然变换。事实上是这种自然变换关系，阐述了出现在集合论中的指数符号。在集合的范畴论中 ${\displaystyle Y^{X}}$ 被称为指数物件。

函数空间

在函数空间理论中，如泛函分析或拓扑的同伦，人们通常对拓扑空间之间的连续函数感兴趣。从 ${\displaystyle X}$ 到 ${\displaystyle Y}$  所有的函数集，写成 ${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y)}$ （Hom函子）并使用 ${\displaystyle Y^{X}}$  来表示连续函数的子集。在这里的 ${\displaystyle {\text{curry}}}$ 是一一对应的

${\displaystyle {\text{curry}}:{\text{Hom}}(X\times Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z)),}$ 

而 uncurrying 是反向的映射。如果从 ${\displaystyle X}$ 到 ${\displaystyle Y}$  的 ${\displaystyle Y^{X}}$ 集合为连续函数 给出了紧致开拓扑紧致开拓扑，而且如果 ${\displaystyle Y}$ 空间是局部豪斯多夫紧致的，那么 ${\displaystyle {\text{curry}}}$ 是一个连续函数，也是同胚。尽管可能有更多情况，当 ${\displaystyle X}$ ，${\displaystyle Y}$ 和 ${\displaystyle Y^{X}}$  是紧生成的时候，情况都是相同的。

这结果发展成了指数表示法

${\displaystyle {\text{curry}}:Z^{X\times Y}\to (Z^{Y})^{X}}$ 

有时称为指数法则。 而有用的推论是，一个函数当且仅当其柯里化形式是连续时，它才是连续的。另一个重要的结果是应用程序映射（在这种情况通常称为“评估”）是连续的（注意eval在计算机科学中的概念与此严格不同）。也就是说，

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\text{eval}}:Y^{X}\times X\to Y\\&&(f,x)\mapsto f(x)\end{aligned}}}$ 

当 ${\displaystyle Y^{X}}$ 是紧致开放的，而且 ${\displaystyle Y}$ 局部紧致的豪斯多夫时，那上述式子是连续的。这两个结果对于确立同伦的连续性非常重要，亦即当 ${\displaystyle X}$ 是单位区间 ${\displaystyle I}$ ，所以 ${\displaystyle Z^{I\times Y}\cong (Z^{Y})^{I}}$ 能想成 就是从 ${\displaystyle Y}$  到${\displaystyle Z}$ 的两个函数的同伦，或者等价地，是 ${\displaystyle Z^{Y}}$ 中的单个（连续）路径。

代数拓扑

域理论

在序理论对于偏序集合的格，当格是给定的 Scott拓扑时，则 ${\displaystyle {\text{curry}}}$ 会是一个连续函数。为了提供 lambda演算的语义学，要先研究 Scott连续函数（因为普通集合理论不适合这样做）。更一般地说，现在研究 Scott连续函数的域理论中，含括了计算机算法的指称语义学。

请注意，Scott拓扑结构与拓扑空间范畴中可能遇到的许多常见拓扑结构完全不同; Scott拓扑通常更为精巧，而不是很严审的。连续性的概念使它出现在同伦类型理论中，粗略地说，两个计算机程序可以被认为是同伦的，如果他们可以“连续”地从一个重构到另一个，即计算得出相同的结果。

Lambda演算

型别理论

在型别理论中，对于计算机科学型别系统的一般概念，被形式化为一个具体的代数类型。例如写为 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 时， 意指那个 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 是一种类型，而 ${\displaystyle \to }$  箭头符号代表是类型构造函数，特别是指函数类型或箭头类型。类似地，类型的笛卡尔积是由 ${\displaystyle \times }$ 构造函数，而建构出的复合结构类型。

型别理论方法可以用 ML编程语言表达，而受启发衍生出的语言有：CaML，Haskell和F＃。

逻辑

在Curry-Howard下，柯里化和对偶柯里化的存在相当于逻辑定理${\displaystyle (A\land B)\to C\Leftrightarrow A\to (B\to C)}$ ，因为多元组（型别积, product type）对应于逻辑中的且连接，而函数类型对应于蕴涵。

范畴论

“科里化”一词由克里斯托弗·斯特雷奇创造，以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名。另外一个名词 "Schönfinkelisation" 则以Moses Schönfinkel命名。在数学历史中，这个原理可以追溯到1893年戈特洛布·弗雷格的工作。

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