蕴涵

${\displaystyle A\models B}$ 

语义蕴涵也叫做逻辑蕴涵（Logical Implication）^[1]，亦可以读作 B 是 A 的语义后承。

陈述句子集合A语义上蕴涵句子集合B。

形式定义：集合A蕴涵集合B，当且仅当在其中A中所有句子都为真的所有模型中，在B中的所有句子也是真的。在图表形式中，它看起来像：

我们需要蕴涵的定义要求A的所有的模型也是B的模型，因为像知识库这样的形式系统在被问到事实的集合（A）是否蕴涵命题（B）的时候，不可能知道在用户头脑中对此的解释。

在语用学（语言学）中，蕴涵有不同的但密切相关的意思。

如果对于公式X有${\displaystyle \varnothing \models X}$ 则X被称为"有效的"或是"重言式"。

${\displaystyle A\vdash B}$ 

陈述句子集合A语法蕴涵句子集合B。它可以读作"B可以证明自A"，或 B 是 A 的语法后承。

定义：A语法蕴涵B，如果通过假定所有A中所有的句子并通过对它们应用一个有限序列的推理规则（比如来自命题演算的），你可以推导出B中的所有句子。

当然，这与特定的逻辑（证明演算）有关。在讨论多个逻辑的情况下，在${\displaystyle \vdash }$ 符号上放置下标是很有用的。

理想上，语义蕴涵（semantic consequence）和语法蕴涵（syntactic consequence）等价，但这不总是可行。（参见哥德尔不完备定理，它陈述了包含为真但不能证明的句子的一些语言（比如算术））。在这种情况下，把等价分成两部分是有用的：

演绎系统S对于语言L是完备的，当且仅当${\displaystyle A\models _{L}X\to A\vdash _{S}X}$ ：就是说，所有有效的论证都是可证明的。

演绎系统S对于语言L是可靠的，当且仅当${\displaystyle A\vdash _{S}X\to A\models _{L}X}$ ：就是说，所有可证明的论证都是有效的，没有无效的论证是可证明的。

在很多情况下，蕴涵符合于实质蕴涵：就是说，${\displaystyle A,X\models Y}$ 当且仅当${\displaystyle A\models X\to Y}$ 。但是在一些多值逻辑中这不是真的。

• 逻辑等价
• 实质蕴涵
• 文字蕴涵
• 蕴涵门

1. ^ Christopher C. Leary. A Friendly Introduction to Mathematical Logic 2nd Edition. : 36–37.