数学原理

《数学原理》（英语：Principia Mathematica）是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍，书籍共分三卷，分别出版于1910年，1912年，1913年。

数学原理
Russell, Whitehead - Principia Mathematica to 56.jpg
作者伯特兰·罗素、​阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德
类型丛书
语言英语
出版机构剑桥大学出版社
出版时间1910年 编辑维基数据
系列作品
Confusion grey.svg提示：此条目的主题不是自然哲学的数学原理。
✸54.43: "从这个命题将遵循,算术加法被定义时,1 + 1 = 2。“卷I,第1版,379页379页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）(第二版362页,362页的删节版)。(证明实际上是在卷II,完成第1版,86页86页,配以注释完成的,“上面的命题是偶尔会有用的
缩短的标题页* 56版的数学原理
我记得伯特兰·罗素告诉我一个可怕的梦。大约公元2100年，他在大学图书馆的顶楼。带着大回收桶的图书馆助理将书架上的书籍取下，看着他们，让他们决定放回书架或丢到桶里。最后他来到他能识别的三大卷数学原理。他取下一卷翻了几页，似乎困惑了一会儿，并将书平放在他的手上犹豫着....
Hardy, G. H. 《一个数学家的辩白》. 北京: 北京大学出版社. 2004: 83 [1940]. ISBN 978-0-521-42706-7. 

它通常缩写为PM (Principia Mathematica)，为表述所有数学真理在一组数理逻辑内的公理和推理规则下，原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目对于数学史和哲学史都是非常重要的，[1]然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明对于数学原理或其他任何类似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到；也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则来建立的数学系统，不是不自洽，就是不完备 (即存在一些数学真理不能由此系统推理演绎出来)。

数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合来试图避免这个问题，它以不同“类型”的集合来取代一般的集合，一组特定类型的集合只能包含套较低的类型。然而在当代数学，会使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系，来避免如罗素的笨拙方式。

现代图书馆将此书排在二十世纪英文非虚构书籍中的第23名。[2]

基本范围

该原理仅覆盖集理论，基数，序数和实数。从现实分析，更深层次的定理并没有包括在内。 几何的基础第四卷已在筹划，但作者在第三卷完成后智力枯竭。

理论基础

由于在理论上由库尔特·哥德尔（下同）的批评指出，不同于形式主义理论，PM的“logicistic”理论有没有“形式主义的语法明确说明”。另一种看法是，在理论上，（在模型论的意义上）解释的真值的符号的行为来表述“⊢”（真理断言），“〜”（逻辑非）和“V”（逻辑或）。

真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命题”的概念。原料（纯）形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚，符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来，通过“价值”的分配，模式将指定什么公式说的解释。因此，在正式的克莱尼符号下方设置，“解释”什么样的符号通常是指，并暗示他们如何最终被采用，在括号内，例如，“¬（不）”。但是，这不是一个纯粹的形式主义理论。

正式的理论的当代建构

下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下：

使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或），“¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“'”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。 符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”.[3] 形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义[4]这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。[5] 变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。 推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”： A，A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那么B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。

构成

PM理论既有相似之处显著，以及类似的差异，当代形式理论。克林指出，“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信，或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”[6]事实上，PM理论不像形式主义理论，即操纵符号根据语法规则，PM引入了“真值”的概念，即在现实世界意义的真理和谬误，以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

版本差异

卷I有五个新增：

  • 附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线
  • 附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性的公理
  • 附录C、8页讨论命题函数
  • 8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。
  • 1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。

参见

  • 各种数学叙述

参考资料

  1. ^ Irvine, Andrew D. Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. 2003-05-01 [2009-08-05]. （原始内容存档于2019-04-28）. 
  2. ^ The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century. The New York Times Company. 1999-04-30 [2009-08-05]. （原始内容存档于2020-06-12）. 
  3. ^ Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
  4. ^ Enderton 2001:16
  5. ^ This is the word used by Kleene 1952:78
  6. ^ Quote from Kleene 1952:45. See discussion LOGICISM at pages 43–46.

外部链接

  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1910 [2015-07-31], JFM 41.0083.02, （原始内容存档于2022-01-18） 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1912 [2015-07-31], JFM 43.0093.03, （原始内容存档于2022-01-18） 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1913 [2015-07-31], JFM 44.0068.01, （原始内容存档于2022-01-18） 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1925, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02 
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica to *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, 1997 [1962], ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042 
  • The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, Stephen Cole Kleene; Michael Beeson. Introduction to Metamathematics Paperback. Ishi Press. March 2009. ISBN 978-0-923891-57-2. 
  • Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, Michel Weber and Will Desmond (eds.). Handbook of Whiteheadian Process Thought （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
  • Proposition ✸54.43 （页面存档备份，存于互联网档案馆） in a more modern notation (Metamath)