反函数

设${\displaystyle f}$ 为一函数，其定义域为${\displaystyle X}$ ，值域为${\displaystyle Y}$ 。如果存在一函数${\displaystyle g}$ ，其定义域和值域分别为${\displaystyle Y,\,X}$ ，并对每一${\displaystyle x\in X}$ 有： ${\displaystyle g(f(x))=x\,}$  则称${\displaystyle g}$ 为${\displaystyle f}$ 的反函数，记之为${\displaystyle f^{-1}}$ 。^{[注 1]}

例如，若给定一函数${\displaystyle f:x\mapsto 3x+2}$ ，则其反函数为${\displaystyle f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}}$ 。 若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

一般而言，当${\displaystyle f(x)}$ 为一任意函数，且${\displaystyle g}$ 为其反函数，则${\displaystyle g(f(x))=x}$ ，${\displaystyle f(g(y))=y}$ 。换句话说，反函数撤销了原函数的运算。

在上述例子，可以证明${\displaystyle f^{-1}}$ 确为反函数，以将${\displaystyle {\frac {x-2}{3}}}$ 代入${\displaystyle f}$ 的方式，如此

${\displaystyle 3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x}$ 。

类似地，也可以将${\displaystyle f}$ 代入${\displaystyle f^{-1}}$ 来证明。

确实，${\displaystyle f}$ 的反函数${\displaystyle g}$ 的一等价定义，就是${\displaystyle g\circ f}$ 为于${\displaystyle f}$ 定义域上的恒等函数，且${\displaystyle f\circ g}$ 为${\displaystyle f}$ 值域上的恒等函数。 ^{[注 2]}

如果一函数${\displaystyle f}$ 有反函数，${\displaystyle f}$ 必须是一双射函数，即：

• 单射：陪域上的每一元素都只被${\displaystyle f}$ 映射至多一次。
• 满射：陪域上的每一元素都必须被${\displaystyle f}$ 映射到。

不然将没有办法对某些元素定义${\displaystyle f}$ 的反函数。

设${\displaystyle f}$ 为一实函数。若${\displaystyle f}$ 有一反函数，它必通过水平线测试，即一放在${\displaystyle f}$ 图上的水平线${\displaystyle y=k}$ 必对所有实数${\displaystyle k}$ ，至多通过一次。换言之，当${\displaystyle k}$ 位于${\displaystyle f}$ 的值域时，${\displaystyle y=k}$ 恰好通过f图一次。

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$ 的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$ 

• 值域
• 逆关系
• 反函数定理