数学中,重复连乘的运算叫做乘方,乘方的结果称为 [1](英语:mathematical power,power);由此,若 正整数 个相同的数 连续相乘(即 自乘 次),就可将 看作乘方的结果 ——“幂”。

bn
记号
底数 与 指数

幂运算exponentiation)又称指数运算取幂[2],是数学运算表达式,读作“ 次方”或“ 次幂”。其中, 称为底数,而 称为指数,通常指数写成上标,放在底数的右边。当不能用上标时,例如在编程语言电子邮件中, 通常写成 b^nb**n;也可视为超运算,记为 b[3]n;亦可以用高德纳箭号表示法,写成 b↑n

当指数为 1 时,通常不写出来,因为运算出的值和底数的数值一样;指数为 2 时,可以读作“平方”;指数为 3 时,可以读作“立方”。

由于在十进制中,十的幂很容易计算,只需在后面加零即可,所以科学记数法借此简化记录的数字;二的幂则在计算机科学中相当重要。

起始值 1(乘法的单位元)乘上底数()自乘指数()这么多次[需要解释]。这样定义了后,很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况:指数是零时,底数不为零,幂均为一(即除 0 外,所有数的 0 次方都是 1 );指数是负数时,就等于重复除以底数(或底数的倒数自乘指数这么多次),即:

若以分数为指数的幂,则定义:

次方再开 方根

0的0次方)目前没有数学家给予正式的定义;在部分数学领域中,如组合数学,常用的惯例是定义为 1 ,也有人主张定义为 1 。

此外,当 复数,且 是正实数时,

exp 是指数函数,而 ln 是自然对数

重要的恒等式

运算法则

  • 同底数幂相乘,底数不变,指数相加:
 
  • 同底数幂相除,底数不变,指数相减:
 
  • 同指数幂相除,指数不变,底数相除( 不为0):
 

其他等式

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运算律

加法和乘法存在交换律,比如:  ,但是幂的运算不存在交换律, ,但是 

同样,加法和乘法存在结合律,比如:  。不过,幂运算没有结合律: ,而 ,所以 

但是幂运算仍然有其运算律,称为指数律

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整数指数幂

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式 被称作 平方,因为边长为 的正方形面积是 

表达式 被称作 立方,因为边长为 的正方体体积是 

所以 读作“3的平方”, 读作“2的立方”。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如 ,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。

或者,整数指数幂可以递归地定义成:

 

指数是1或者0

注意 表示仅仅1个3的乘积,就等于3。

注意    

继续,得到 ,所以 

另一个得到此结论的方法是:通过运算法则 

 时, 

  • 任何数的1次方是它本身。

零的零次方

  其实还并未被数学家完整的定义,但部分看法是  ,在程式语言中(python)  

在这里给出这一种极限的看法

  于是,可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值,如图

负数指数

我们定义任何不为 0 的数 a -1 次方等于它的倒数。

 

对于非零 定义

 ,

 时分母为 0 没有意义。

证法一:

根据定义 ,当 

 

 , 所以 

证法二:

通过运算法则 

 时,可得 

负数指数 还可以表示成1连续除以  。比如:

 .

特殊数的幂

10的幂

十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如: 

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速,单位是米每秒),可以写成  近似值   

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是  ,词头“毫”就是  

2的幂

1的幂

1的任何次幂都为1。

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是悬而未决的,某些领域下常用的惯例是约定为1。[3]但某些教科书表示0的0次方为无意义。[4]也有人主张定义为1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

   
     , (视乎n 是奇数或偶数)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

   

1的幂永远都是1

   

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是:

 

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

  • 有理数幂可以通过N次方根定义,任何非0实数次幂都可以这样定义
  • 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

 
从上到下: 

一个  次方根是  使 

如果 是一个正实数, 是正整数,那么方程 只有一个正实数。 这个根被称为  次方根,记作: ,其中 叫做根号。或者,  次方根也可以写成 . 例如 

当指数是 时根号上的2可以省略,如: 

有理数幂

有理数指数幂定义为

 

e的幂

这个重要的数学常数e,有时叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的:

 

指数函数的定义是:

 

可以很简单地证明e的正整数k次方 是:

 
 
 
 
 

实数指数幂

 
y = bx对各种底数b的图像,分别为绿色的10、红色的e、蓝色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数x可以定义成[5]

 

例如:

 

于是

 

实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。

自然对数 是指数函数 反函数。 它的定义是:对于任意 ,满足

 

根据对数和指数运算的规则:

 

这就是实数指数幂的定义:

 

实数指数幂 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。

负实数的实数幂

如果 是负数且 偶数,那么 是正数。如果 是负数且 奇数,那么 是负数。

使用对数和有理数指数都不能将 (其中 是负实数, 实数)定义成实数。在一些特殊情况下,给出一个定义是可行的:负指数的整数指数幂是实数,有理数指数幂对于  是奇数)可以使用 次方根来计算,但是因为没有实数 使 ,对于  是偶数)时必须使用虚数单位 

使用对数的方法不能定义 时的 为实数。实际上, 对于任何实数 都是正的,所以 对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数 因为它依赖于连续性。函数 对于任何正的有理数 是连续的,但是对于负数 ,函数 在有些有理数 上甚至不是连续的。

例如:当 ,它的奇数次根等于-1。所以如果 是正奇数整数,  是奇数,  是偶数。虽然有理数 使 集合稠密集,但是有理数 使 集合也是。所以函数 在有理数域不是连续的。

因此,如果要求负实数的任意实数幂,必须将底数和指数看成复数,按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂

e的虚数次幂

 
指数函数ez可以通过(1 + z/N)NN趋于无穷大时的极限来定义,那么e就是(1 + /N)N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + /N)N的值通过N重复增加在复数平面上展示,最终结果就是(1 + /N)N的准确值。可以看出,随着N的增大,(1 + /N)N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解  是实数),即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形 (括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的 ,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于 弧度。对于所有 ,三角形 互为相似三角形。所以当 足够大时 的极限是复数平面上的单位圆 弧度的点。这个点的极坐标 直角坐标 。所以 ,而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式,它通过复数的意义将代数学三角学联系起来了。

等式 的解是一个整数乘以 [6]

 

更一般地,如果 ,那么 的每一个解都可以通过将 的整数倍加上 得到:

 

这个复指数函数是一个有周期 周期函数

更简单的: 

三角函数

根据欧拉公式三角函数余弦和正弦是:

 

历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

 

使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

 可以分解成 。其中   决定了 的方向

正实数的复数幂

如果 是一个正实数, 是任何复数, 定义成 ,其中 是方程 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如:

 
 
 
 

复数的复数幂

复数的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始:计算 

 

其中 的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂

类似地,在计算复数的复数幂时,我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算 

 

一般情况

复数的复数幂必须首先化为底数为 的形式:

 

又,由复数的极坐标表示法:

 

 

然后,使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中,辐角 的取值是具有周期性的,因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中,为了简便起见,辐角都只取主值,从而使幂值唯一。

函数

当函数名后有上标的数(即函数的指数),一般指要重复它的运算。例如  。特别地,  反函数

三角函数的情况有所不同,一个正指数应用于函数的名字时,指答案要进行乘方运算,而指数为-1时则表示其反函数。例如: 表示 。因此在三角函数时,使用 来表示 的反函数 

计算自然数(正整数)的算法

最快的方式计算 ,当 是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

C/C++语言中,你可以写如下算法:

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的时间复杂度 ,比普通算法快(a自乘100次,时间复杂度 ),在 较大的时候更为显著。

例如计算 ,普通算法需要算100次,上述算法则只需要算7次。若要计算 可先以上述算法计算 ,再作倒数。

另见

注释

  1. ^ 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘为幂 
  2. ^ 存档副本. [2022-10-21]. (原始内容存档于2022-10-22). 
  3. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  4. ^ 康轩国中1上《FUN学练功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(注:0的0次方为无意义)
  5. ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  6. ^ This definition of a principal root of unity can be found in:
    • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource页面存档备份,存于互联网档案馆
    • Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books.
    • "Principal root of unity页面存档备份,存于互联网档案馆)", MathWorld.

外部链接