方根

最早的根号“√”源于字母“r”的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$ 。

考虑在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

带有根号的运算可由如下公式推导而得:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}$ 

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}$ 

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}$ 

这里的a和b是正数。

对于所有的非零复数${\displaystyle a}$ ，有${\displaystyle n}$ 个不同的复数${\displaystyle b}$ 使得${\displaystyle b^{n}=a}$ ，所以符号${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ 就会出现歧义（通常这样写是取${\displaystyle n}$ 个值当中主幅角最小的）。${\displaystyle n}$ 次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$ 

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}$ 

${\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}$ 

例如:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}$ 

若要做加法或减法，需考虑下列的概念。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$ 

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}$ 

${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}$ 

${\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$ 

${\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$ 

未经化简的根数，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是处理不尽根数的基本技巧:

• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}}$ 

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ 

• ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ 

• ${\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}$ 

方根可以表示为无穷级数:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}$ 

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式${\displaystyle ae^{i\varphi }}$ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

${\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$ 

对于${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$ ，这里的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ 表示${\displaystyle a}$ 的主${\displaystyle n}$ 次方根。

正实数

所有${\displaystyle x^{n}=a}$ 或${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle n}$ 次方根，这里的${\displaystyle a}$ 是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$ 

对于${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$ ，这里的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ 表示${\displaystyle a}$ 的主${\displaystyle n}$ 次方根。

曾经有数学猜想，认为多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

${\displaystyle \ x^{5}=x+1}$ 

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

对于正数${\displaystyle A}$ ，可以通过以下算法求得${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ 的值：

1. 猜一个${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ 的近似值，将其作为初始值${\displaystyle x_{0}}$ 
2. 设 ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$ 。记误差为${\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}$ ，即${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}$ 。
3. 重复步骤2，直至绝对误差足够小，即：${\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon }$ 。

从牛顿法导出

求${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ 之值，亦即求方程${\displaystyle x^{n}-A=0}$ 的根。

设${\displaystyle f(x)=x^{n}-A}$ ，其导函数即${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}$ 。

以牛顿法作迭代，便得

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}$ 

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$ 

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$ 

从牛顿二项式定理导出

设${\displaystyle x_{k}}$ 为迭代值，${\displaystyle y}$ 为误差值。

令${\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}$ （*），作牛顿二项式展开，取首两项：${\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}$ 

调项得${\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}$ 

将以上结果代回（*），得递归公式${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$ 

• 增乘开平方法
• 幂
• 无理数
• 分母有理化
• 双重根号
• 2的12次方根

• 高阶根号求解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。此法亦可求任意正实数指数值
• 立方根与高次方根^{[永久失效链接]}
• 指数-高中数学教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) （页面存档备份，存于互联网档案馆）