2的12次方根

**2的12次方根**
2的12次方根
	数表—无理数;
	数表—无理数;
命名
数字
名称	2的12次方根
识别
种类	无理数
符号
位数数列编号	A010774
性质
以此为根的多项式或函数
表示方式
值	1.05946309...
二进制	1.00001111001110001111100100101101…
十进制	1.05946309435929526456182529494634…
十六进制	1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84…
	查; 论; 编;

2的12次方根是一个代数无理数，计为 ${\sqrt[{12}]{2}}$ 或 $2^{\frac {1}{12}}$ ，是方程式 $x^{12}-2=0$ 的正实根。它是音乐理论中的一个重要常数，它代表了十二平均律中半音的频率比。

数值

${\sqrt[{12}]{2}}$ 的近似值为1.0594630943593，其值略高于 ${\frac {18}{17}}$ ^[1] ≈ 1.0588。更好的近似值为 ${\frac {196}{185}}$ ≈ 1.059459或 ${\frac {18904}{17843}}$ ≈ 1.0594630948。

性质

方程式 $x^{12}-2=0$ 的正实根
超体积为2的12维超立方体之边长
其值约为1.0594630943593 （OEIS数列A010774）
其连分数为：
${\sqrt[{12}]{2}}=1+{\frac {1}{16+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$ （OEIS数列A103922）

半音音阶

因为音程是频率的比例，等于平均律半音音阶划分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音阶的音调从最接近且高于中央C的A以频率440开始，产生音高的顺序与波的频率如下：

音符	频率 Hz	倍率	系数（六处）
A	440.00	2^0/12	1.000000
A♯/B♭	466.16	2^1/12	1.059463
B	493.88	2^2/12	1.122462
C	523.25	2^3/12	1.189207
C♯/D♭	554.37	2^4/12	1.259921
D	587.33	2^5/12	1.334839
D♯/E♭	622.25	2^6/12	1.414213
E	659.26	2^7/12	1.498307
F	698.46	2^8/12	1.587401
F♯/G♭	739.99	2^9/12	1.681792
G	783.99	2^10/12	1.781797
G♯/A♭	830.61	2^11/12	1.887748
A	880.00	2^12/12	2.000000

最终的A（880 Hz）的频率为初始的A（440 Hz）的两倍，也就是说，他们差了八度

间距调整

由于一个半音的频率比接近106％，一个录音的播放速度增加或减慢6％将会使音高向上或向下一个半音移位“半步”。

参见

数表
纯律
音乐数学
方根
十二平均律

参考文献

^ 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X

[1] 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

[1]