平方根

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的六十进制数字 1;24,51,10。^[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。^[2]

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。^[3]

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有划一的平方根符号时，人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。

中世纪时，拉丁语中的latus（正方形边）的首个字母“L”被不少欧洲人采用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中则用横线当成latus的简写，在被开方的数下画一线。

最有影响的是拉丁语的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜划，像P和x的合体）；⎷（没有上面的横划）是由克里斯托费尔·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用，据说是小写r的变型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人们熟知的开方运算符号${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,\,}}}$ 。

${\displaystyle x}$ 的平方根亦可用指数表示，如：

${\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}$ 

${\displaystyle x}$ 的绝对值可用${\displaystyle x^{2}}$ 的算数平方根表示：

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}$ 

正数的平方根

若正整数${\displaystyle x}$ 是平方数，则其平方根是整数。若正整数${\displaystyle x}$ 不是平方数，则其平方根是无理数。

对于正数${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ ，以下式成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}$ 

负数的平方根

负数的平方根在复数范围内同样有定义。

负数有两个平方根，它们为一对共轭的纯虚数。

以虚数单位${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ 可将负数${\displaystyle x}$ 的平方根表示为

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}i}$ ，其中${\displaystyle {\sqrt {-x}}i={\sqrt {x}}}$ 。

例如-5的平方根有两个，它们分别为${\displaystyle {\sqrt {5}}i}$ 和${\displaystyle -{\sqrt {5}}i}$ 。

对于负数${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ ，以下式成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}$ 

正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作${\displaystyle i}$ （也可以记作${\displaystyle j}$ ，比如电学场景中${\displaystyle i}$ 一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为${\displaystyle i^{2}=-1}$ ，故${\displaystyle i}$ 是-1的平方根，而且${\displaystyle (-i)^{2}=i^{2}=-1}$ ，所以${\displaystyle -i}$ 也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是${\displaystyle i}$ ，如果${\displaystyle x}$ 是任意非负实数，则${\displaystyle -x}$ 的算术平方根就是：

${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}$ 

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是${\displaystyle -x}$ 的算术平方根，是因为：

${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}$ 

对于任何一个非零的复数${\displaystyle z}$ 都存在两个复数${\displaystyle w}$ 使得${\displaystyle w^{2}=z}$ 。

虚数的算术平方根

虚数${\displaystyle i}$ 的算术平方根可以根据以下公式计算：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$ 

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ ，满足

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}$ 

就可以得到方程组

${\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}$ 

的解：

${\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 

其中，算术平方根即为

${\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

${\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$ 

就可以推出

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}$ 

复数的算术平方根

首先，我们将复数${\displaystyle x+iy}$  看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的${\displaystyle (x,y)}$ 点。这个点也可以写作极坐标的${\displaystyle (r,\varphi )}$ ，其中${\displaystyle r\geq 0}$ ，是该点到坐标原点的距离，${\displaystyle \varphi }$ 则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（${\displaystyle x}$ 轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作${\displaystyle re^{i\varphi }}$ 。如果

${\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }$ 

那么我们将${\displaystyle z}$ 的算术平方根定义为：

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}$ 

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$  的泰勒级数也适用于复数${\displaystyle x(\left\vert x\right\vert <1)}$ 。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}$ 

代数公式

如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：^[4][5]

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}$ 

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值（英语：Principal value）实部永远非负。

在虚数里，平方根函数的值不是连续的，以下等式不一定成立：

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$ 
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$ 
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$ 

所以这是错误的：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$ 

例：若${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle {\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!}$ 

数学史中，最重要的平方根可以说是${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，它代表边长为1的正方形的对角线长，是第一个公认的无理数，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小数点14位约为1.4142135623731。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数，可由归谬法证明：

1. 设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 为有理数，可表示为${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ，其中${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 为互素之正整数。
2. 因为${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2}$ ，故${\displaystyle p^{2}}$ 是2的倍数，${\displaystyle p}$ 也是2的倍数，记为${\displaystyle 2k}$ ，其中${\displaystyle k}$ 为正整数。
3. 但是${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}=4k^{2}}$ ，故${\displaystyle q^{2}=2k^{2}}$ ，${\displaystyle q^{2}}$ 是2的倍数，${\displaystyle q}$ 也是2的倍数。
4. 依上两式，${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 都是2的倍数，和${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 为互素之正整数的前题矛盾。依归谬法，得证${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 不是有理数，即${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数。

约数计算

${\displaystyle {\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}}$ 。

注意，6 的素因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此 ${\displaystyle 2{\sqrt {6}}}$  就是最简结果 。

中算开方

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字^[6]。

长除式算法

长除式算平方根的方式也称为直式开方法，原理是${\displaystyle .(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b}$ 。

1. 首先将要开平方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开，如98765.432内小数点前的65是一组，87是一组，9是一组，小数点后的43是一组，之后是单独一个2，要补一个0而得20是一组。如1 04.85 73得四组，顺序为1' 04. 85' 73'。
2. 将最左的一组的数减去最接近又少于它的平方数，并将该平方数的开方（应该是个位数）记下。
3. 将上一步所得之差乘100，和下一组数加起来。
4. 将记下的数乘20，然后将它加上某个个位数，再乘以该个个位数，令这个积不大于但最接近上一步所得之差，并将该个个位数记下，且将上一步所得之差减去所得之积。
5. 记下的数一次隔两位记下。
6. 重复第3步，直到找到答案。
7. 可以在数字的最右补上多组的00'以求得理想的精确度为止。

下面以${\displaystyle {\sqrt {200}}}$ 为例子：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}}$ 

${\displaystyle {\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421}$ 

四舍五入得答案为14.14。

事实上，将算法稍作改动，可以开任何次方的根，详见n次方算法。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：

牛顿法

如果要求${\displaystyle S\,(S>1)}$ 的平方根，选取${\displaystyle 1\,<\,x_{0}\,<\,S}$ 

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}$ 

例子：求${\displaystyle {\sqrt {125348}}}$ 至6位有效数字。

${\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}$ 

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}$ 

${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}$ 

${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}$ 

${\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}$ 

${\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}$ 

因此${\displaystyle {\sqrt {125348}}\approx 354.045}$ .

连分数

平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：
${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$ 
${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ 
${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ 
${\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$ 
${\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}$ 
${\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}$ 

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

巴比伦方法

巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

1. 预测一个平方根${\displaystyle x}$ ，初始另一个值${\displaystyle y}$ ，且${\displaystyle xy=N}$ 
2. 求预测值与初始值的均值：${\displaystyle x=x={\frac {x+y}{2}}}$ 
3. 比较${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

重复的算术运算

这个方法是从佩尔方程演变过来的，它通过不断减去奇数来求得答案。

尺规作图

问题

给定线段AB和1，求一条长为${\displaystyle {\sqrt {AB}}}$ 的线段。

解法

1. 画线AB，延长BA至C使${\displaystyle AC=1}$ 
2. 以BC的中点为圆心，OC为半径画圆
3. 过A画BC的垂直线，垂直线和圆弧交于D，AD即为所求之长度

证明

将整个过程搬到直角坐标上，已知AC=1，设

• O=${\displaystyle (0,0)}$ 
• AB=${\displaystyle n}$ 

1. 直径为BC的圆就是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}$ （圆的方程式：${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ）（其中${\displaystyle r}$ 表示半径。）
2. 将${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)}$ （A,D所在的x坐标）代入上面的方程式
3. ${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}$ 
4. 解方程，得${\displaystyle y={\sqrt {n}}}$ 。

另也可参见射影定理。

• 方根
• 增乘开平方法
• 二项式定理
• 牛顿法

• Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
• The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
• 开方公式的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 平方根计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）