二项式定理

二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象^[3]。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况^[4][5]。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期，波斯数学家卡拉吉（英语：Al-Karaji）^[6]和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果^[7]。卡拉吉（英语：Al-Karaji）用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明^[6]。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数^[8]。

根据此定理，可以将${\displaystyle x+y}$ 的任意次幂展开成和的形式

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$ 

其中每个${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$ 

后面的表达式只是将根据${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle y}$ 的对称性得出的，通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换${\displaystyle y}$ 得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}$ 

或者等价地

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}$ 

对于正值${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ ，二项式定理，在${\displaystyle n=2}$ 时是在几何上的明显事实，边为${\displaystyle a+b}$ 的正方形，可以切割成1个边为${\displaystyle a}$ 的正方形，1个边为${\displaystyle b}$ 的正方形，和2个边为${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 的长方形。对于${\displaystyle n=3}$ ，定理陈述了边为${\displaystyle a+b}$ 的立方体，可以切割成1个边为${\displaystyle a}$ 的立方体，1个边为${\displaystyle b}$ 的立方体，3个${\displaystyle a\times a\times b}$ 长方体，和3个${\displaystyle a\times b\times b}$ 长方体。

在微积分中，此图解也给出导数${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$ 的几何证明^[9]。设${\displaystyle a=x}$ 且${\displaystyle b=\Delta x}$ ，将${\displaystyle b}$ 解释为${\displaystyle a}$ 的无穷小量改变，则此图解将无穷小量改变，显示为${\displaystyle n}$ 维超立方体 ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}}$ ：

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$ 

其中（针对${\displaystyle \Delta x}$ 的）线性项的系数是${\displaystyle nx^{n-1}}$ ，将公式代入采用差商的导数定义并取极限，意味着忽略高阶项${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ 和更高者，产生公式：${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$ 。若再进行积分，这对应于应用微积分基本定理，则得到卡瓦列里求积公式：${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$ 。

数学归纳法

当${\displaystyle n=1}$ ，

${\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{1-k}b^{k}={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}=a+b}$ 

假设二项展开式在 ${\displaystyle n=m}$  时成立。若${\displaystyle n=m+1}$ ，

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{m+1}&=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\\&=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}\\&=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{( 將 }}a{\text{, }}b{\text{) }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{ 取 出 }}k=0{\text{ 的 項 }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{設 }}j=k-1\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}\ \ \ \ \ {\text{取 出 }}k=m+1{\text{項 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{兩 者 加 起 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{套 用 帕 斯 卡 法 則 }}\\&=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\end{aligned}}}$ 

组合方法

考虑${\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}$ ，共7个括号相乘，从7个括号选出其中的4个括号中的${\displaystyle a}$ ，再从剩余的3个括号中选出3个${\displaystyle b}$ 相乘，便得一组${\displaystyle a^{4}b^{3}}$ ，而这样的选法共有${\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}$ 种，故总共有${\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}$ 个${\displaystyle a^{4}b^{3}}$ ；其他各项同理。

同理，${\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)}$ ，共${\displaystyle n}$ 个括号相乘，从${\displaystyle n}$ 个括号选出其中的${\displaystyle k}$ 个括号中的${\displaystyle a}$ ，再从剩余的${\displaystyle (n-k)}$ 个括号中选出${\displaystyle (n-k)}$ 个${\displaystyle b}$ 相乘，便得一组${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ ，而这样的选法共有${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ 种，故总共有${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ 个${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ ；其他各项同理。

不尽相异物排列方法

考虑${\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}$ ，每一个括号可以出${\displaystyle a}$ 或出${\displaystyle b}$ ，而最后要有4个${\displaystyle a}$ 、3个${\displaystyle b}$ 相乘，这形同${\displaystyle aaaabbb}$ 的“不尽相异物排列”，其方法数为${\displaystyle {\frac {7!}{4!\times 3!}}}$ ，恰好等于${\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}$ ；其他各项同理。

同理，${\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)}$ ，每一个括号可以出${\displaystyle a}$ 或出${\displaystyle b}$ ，而最后要有${\displaystyle k}$ 个${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle (n-k)}$ 个${\displaystyle b}$ 相乘，这形同${\displaystyle \underbrace {aa\ldots aa} _{k}\underbrace {bb\ldots bb} _{n-k}}$ 的“不尽相异物排列”，其方法数为${\displaystyle {\frac {n!}{k!\times (n-k)!}}}$ ，恰好等于${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ；其他各项同理。

一般形式的证明

通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

设${\displaystyle f(x)=(1+x)^{a}}$ , ${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}}$ 。注意只有当${\displaystyle |x|<1}$ 时上述两个函数才收敛

• 首先证明 ${\displaystyle g(x)}$ 收敛于${\displaystyle |x|<1}$ 。这里省略

• 之后，易得${\displaystyle f(x)}$ 满足微分方程︰${\displaystyle (1+x)f'(x)=af(x)}$ 。用求导的一般方法就能得到这个结论，这里省略

• 再证明 ${\displaystyle g(x)}$ 亦满足上述微分方程︰

${\displaystyle g(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}x^{k}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose {k+1}}(k+1)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}\\\end{aligned}}}$ 

因为

${\displaystyle {\begin{aligned}{a \choose {k+1}}(k+1)&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{(k+1)!}}(k+1)\\&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{k!}}\\&={a \choose k}(a-k)\end{aligned}}}$ 

于是

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)g'(x)&=g'(x)+x\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}(a-k+k)\\&=a\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}\\&=a\cdot g(x)\\\end{aligned}}}$ 

因为 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}={a \choose 0}\cdot 0x^{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}}$ 

${\displaystyle {\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {a}{1+x}}}$ 

${\displaystyle \because {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {a}{1+x}}}$ 

${\displaystyle \therefore {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}}$ 

${\displaystyle g'(x)f(x)=f'(x)g(x)}$ 

• 根据除法定则，${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {g(x)}{f(x)}}\right)={\frac {g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{(f(x))^{2}}}=0}$ 

• 根据拉格朗日中值定理，${\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}}$ 是常数函数.

${\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {g(0)}{f(0)}}=1}$ 

${\displaystyle f(x)=g(x)}$ 

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分^[10] 。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式

二项式定理给出的系数可以视为组合数 ${\displaystyle {n \choose k}}$  的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。

(1)证明${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}$ 

可以考虑恒等式 ${\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}}$ 。 展开等式左边得到： ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}{n \choose i}{n \choose j}x^{i}x^{j}}$ 。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}x^{k}}$ 。 比较两边幂次为 ${\displaystyle k}$  的项的系数可以得到: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}{n \choose k-i}={2n \choose k}}$ 。 令 ${\displaystyle k=n}$ ，并注意到 ${\displaystyle {n \choose i}={n \choose n-i}}$  即可得到所要证明的结论。

(2)证明${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}$ 

因为${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$ 

令${\displaystyle x=y=1}$ ，代入上式，得

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+1)^{n}&=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}\\&={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\end{aligned}}}$ 

多倍角恒等式

在复数中，二项式定理可以与棣莫弗公式结合，成为多倍角公式^[11]。根据棣莫弗公式：

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.\,}$ 

通过使用二项式定理，右边的表达式可以扩展为

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}$ 

由棣莫弗公式，实部与虚部对应，能够得出

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$ 

即二倍角公式。同样，因为

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$ 

所以藉棣莫弗公式，能够得出

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$ 

整体而言，多倍角恒等式可以写作

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$ 

和

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$ 

e级数

数学常数e的定义为下列极限值：^[12]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$ 

使用二项式定理能得出

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$ 

第${\displaystyle k}$ 项之总和为

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}\;=\;{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$ 

因为${\displaystyle n\to \infty }$ 时，右边的表达式趋近1。因此

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$ 

这表明${\displaystyle e}$ 可以表示为^[13][14]

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$ 

该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即所谓的牛顿广义二项式定理：

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{\alpha -k}y^{k}}$ 。其中${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}}={\frac {(\alpha )_{k}}{k!}}}$ 。

多项式展开

对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广：^[15][16]
${\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}$ .

证明：

数学归纳法。对元数${\displaystyle n}$ 做归纳：
当${\displaystyle n=2}$ 时，原式为二项式定理，成立。
假设对${\displaystyle n-1}$ 元成立，则：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}&=((x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})+x_{n})^{k}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}\right)^{k-\alpha _{n}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n-1}=k-\alpha _{n}}{\frac {\left(k-\alpha _{n}\right)!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n-1}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n-1}^{\alpha _{n-1}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}{\text{證 畢 }}\\\end{aligned}}}$ 

• Binomial Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 史蒂芬·沃尔夫勒姆
• "Binomial Theorem (Step-by-Step)"（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示项目, 2007.
• The Binomial Theorem - Interactive Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Binomial Expansion - HyperPhysics