立方根

在实数系中，实数${\displaystyle a}$ 的立方根通常用${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$ 表示，可读作“${\displaystyle a}$ 的立方根”，“立方根${\displaystyle a}$ ”或“根号${\displaystyle a}$ 开三次方”。

值得注意的是，^{[查证请求]}，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数${\displaystyle a}$ 的立方根唯一确定。习惯上，三次根号${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$ 仅用来表示实数解。例如：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}}$ 仅表示实数1，而不表示复数${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ ，与${\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$ 。

即解${\displaystyle x^{3}=1}$ ，解法如下：

${\displaystyle \Rightarrow x^{3}-1=0}$ 

${\displaystyle \Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0}$ （立方差）

${\displaystyle \Rightarrow x-1=0}$ 或${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$ 

${\displaystyle \Rightarrow x=1}$ 或${\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$ （公式解）

令${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ ，则${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$ ；反之，令${\displaystyle \omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$ ，则${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ 。由以上的式子可看出${\displaystyle \omega }$ 的特性有：

• ${\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}$ 
• ${\displaystyle {{\omega }^{3}}=1}$ （将${\displaystyle \omega }$ 代回${\displaystyle x^{3}=1}$ 求得）

故${\displaystyle \omega }$ 可代表${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$ 中的任何一数，即${\displaystyle \omega }$ 为1的立方虚根。

• 牛顿法：${\displaystyle x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)}$ 
• 哈雷法（英语：Halley's method）：${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)}$ 

1220年意大利人斐波那契第一次使用${\displaystyle \operatorname {R} x}$ 来表达立方根，${\displaystyle \operatorname {R} }$ 源于拉丁文radix的首字母，意思为“根、方根”。

十七世纪初时，法国数学家笛卡儿（1596－1650）在他的著作几何学中第一次使用不连续的“√”及“￣”表示根号，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Loubere）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$ 。

• 方根

• 埃里克·韦斯坦因. 立方根. MathWorld.