负数

负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式${\displaystyle x-y=z}$ 对任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示负债，而且通常以红色表示（若不带负数符号则加上括号），所以又称“赤字”。

自从汉代，中国数学家就已经了解负数和零的概念了。^[1] 公元1世纪的《九章算术》说“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”^[2]（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）。以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。^[3]

西方最早在数学上使用负数的文献纪录，是由古印度数学家婆罗摩笈多于公元628年完成的《婆罗摩历算书（英语：Brāhmasphuṭasiddhānta）》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪^{[来源请求]}才接受负数的概念。

在实数上可以定义这样一个函数${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$ 

当${\displaystyle x}$ 不为 0 时，则有：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}$ 

这里，${\displaystyle \left\vert x\right\vert }$ 为${\displaystyle x}$ 的绝对值，${\displaystyle H(x)}$ 为单位阶跃函数。请参见导数。

加法

加上一个负数相当于减去其相反数：

${\displaystyle 6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,}$ 

${\displaystyle -2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,}$ 

减法

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

${\displaystyle 6-3=3\,}$ 

${\displaystyle 4-6=-2\,}$ 

${\displaystyle 0-5=-5\,}$ 

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

${\displaystyle -6-3=-(6+3)=-9\,}$ 

减去一个负数相当于加上相应的正数：

${\displaystyle 5-(-2)=5+2=7\,}$ 

${\displaystyle (-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,}$ 

乘法

一个负数和一个正数相乘得到一个负数：${\displaystyle (-2)\times 3=-6}$ 。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：${\displaystyle (-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6}$ 。

两个负数相乘得到一个正数：${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$ 。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：

${\displaystyle {\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,}$ 

等式的左边为${\displaystyle 0\times (-4)=0}$ 。等式的右边为${\displaystyle -12+(-3)\times (-4)}$ 。为了使两边相等，必须要${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$ 。

除法

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

${\displaystyle \;8\;\div \;(-2)=(-4)\,}$ 

${\displaystyle (-10)\;\div \;2=(-5)\,}$ 

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：

${\displaystyle (-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,}$ 

• 实数
• 超实数（Hyperreal number）
• 超现实数（Surreal Numbers）
• 负整数
• 科学计数法

1. ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3 
2. ^   九章算術. 维基文库. 中国 （中文）. 
3. ^ HPM通訊第二期. [2018-04-19]. （原始内容存档于2020-01-29）.