八元数

八元数(英语:Octonion)是以实数构建的8维度赋范可除代数,为四元数非结合推广的超复数,通常记为O。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律交换律,但具备交错代数的特性,并保有幂结合性

八元数
符号
种类超复代数
单位形式:


形式:

1ijkliljlkl
乘法单位元1
主要性质非交换
非结合
常见的数字系统
  •  自然数
  •  整数
  •  有理数
  •  实数
  •  复数
  •  四元数
少见的数字系统

八元数 () 十六元数 () 三十二元数

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

也许是因为八元数的乘法不具备结合性,因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论狭义相对论量子逻辑英语Quantum logic中也有应用。

历史

八元数第一次被描述于1843年,于一封约翰·格雷夫斯英语John T. Graves威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。[1]:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。[2]格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些[3]。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的,[2]因此八元数又被称为凯莱数凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。[4]

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例,八元数可以表达为2个四元数PQ的组合,即 P+Q l  ,其中,量l为其中一个八元数单位并满足:[5]

 

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}线性组合。也就是说,每一个八元数x都可以写成[6]

 

其中系数xa是实数。 这些八元数单位亦满足:[5]

 

八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数四元数一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。[6]

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为ea的线性组合,其中 a=0, 1,..., 7 [7]

 

当中的 为实数单位。每个八元数单位元素皆不相等,而其平方为实数。也就是说,每个八元数 x 都可以写成以下形式[8]

 [9]:5

其中xi为单位元素ei的系数,且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的,与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配,所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算,再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出[7],其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式( )类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述:[10]

 [11]  
               
                   
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

除了主对角线上以及 作为操作数的行和列的元素之外,乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的,这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下:[12]

 

其中δij克罗内克δ函数(当且仅当i = j时为1)、 εijk完全反对称张量英语completely antisymmetric tensor,且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时,值为1。[9]

然而,上述定义并不是唯一的。这些定义只是 八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素 的符号来获得。[13]这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的,很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中,每一定义的正负号在7循环(1234567)下的特定点上都是不变的,并且对于每个7循环有四个定义,它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e1e2 = e4的7循环(1234567)下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面,该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表en 格式的矩阵。[14]

 

此外,亦有一些文献会将八元数的单位定义为 [15]

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数  的乘积定义为:[8]:153

 

其中 表示四元数 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。[16]

法诺平面记忆

 
八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过ijk的圆也视为一条直线),称为法诺平面英语Fano plane[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im( )的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。[18]

(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:[18]

ab = cba = −c

以及它们的循环置换英语Cyclic permutation。这些规则[18]

  • 1是乘法单位元,
  • 对于图中的每一个点,都有 

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 的一个子代数,与四元数 同构。[8]:151-152

共轭、范数和逆元素

八元数

 

的共轭为:

 

当中除了实数项外,其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{e1, e2 ... e7},则八元数的共轭可以简化表示为:[9]:6

 

共轭是 的一个对合,满足 (注意次序的变化)。[16]

x的实数部分定义为 ,虚数部分定义为 [16]所有纯虚的八元数生成了 的一个七维子空间,记为Im( )[8]:186

八元数x范数可用与自身共轭的积 来定义[16]

 

在这里,平方根是定义良好的,因为 总是非负实数:[注 1]

 

这个范数与 上的标准欧几里得范数是一致的。

 上范数的存在,意味着 的所有非零元素都存在逆元素x ≠ 0的逆元素为:[16][9]:6

 

它满足 

性质

八元数的乘法既不是交换的:[9]:6

 

也不是结合的:[5]:41

 

然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性[9]:2。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数英语Subalgebra是结合的。[9]:3实际上,我们可以证明,由 的任何两个元素所生成的子代数都与   同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数不一样。[9]

八元数确实保留了   共同拥有的一个重要的性质: 上的范数满足

 

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质,因为它们都存在零因子[19]

这样,实数域上唯一的赋范可除代数是    。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数英语Division algebra[8]:155

由于八元数不是结合的,因此 的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群

自同构

八元数的自同构A,是 的可逆线性变换,满足:

 

 的所有自同构的集合组成了一个,称为G2英语G2 (mathematics)[21][9]G2是一个单连通紧致、14维的实李群[22]这个群是例外李群英语w:Exceptional Lie group#Exceptional cases中最小的一个。[23]

参见

  • 双曲复数
  • 四元数
  • 十六元数
  • Spin(8)英语Spin(8)
  • PSL(2,7)──法诺平面的自同构群

注释

  1. ^ 在范数可良好定义的前提下, ,且 [16],因此可以得到 总是非负实数的结论。

参考文献

  1. ^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. (原始内容存档于2021-10-26). 
  2. ^ 2.0 2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine英语Philosophical Magazine, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, (原始内容存档于2022-04-22) . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
  3. ^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, (原始内容存档于2015-04-04) 
  4. ^ Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. (原始内容存档于2022-04-27). 
  6. ^ 6.0 6.1 State Enterprise National Power Company “UkrEnergo”, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. (原始内容存档于2022-04-22). 
  7. ^ 7.0 7.1 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 150
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155 . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. (原始内容存档于2008-10-09). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1 . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. (原始内容存档于2022-04-22) (英语).  論文全文 (PDF). [2022-04-27]. (原始内容 (PDF)存档于2019-10-17). 
  10. ^ G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable, Irene Sabadini英语Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen (编), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20], ISBN 978-3-7643-9892-7, (原始内容存档于2016-12-04) 
  11. ^ John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. (原始内容存档于2022-01-13). 
  12. ^ L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation, Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20], ISBN 0-8247-2669-3, (原始内容存档于2016-12-04) 
  13. ^ 480 varieties of octonion multiplication. tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22]. (原始内容存档于2021-05-16). 
  14. ^ J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015. 
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  16. ^ 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 154
  17. ^ John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. (原始内容存档于2022-01-13). 
  18. ^ 18.0 18.1 18.2 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 152
  19. ^ Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications英语Dover Publications, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601 
  20. ^ Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review. (原始内容存档于2016-09-10). 
  21. ^ Conway & Smith 2003,[20] Chapter 8.6
  22. ^ Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G2 (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. (原始内容 (PDF)存档于2022-01-15). 
  23. ^ Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422 

延伸阅读

  • Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], (原始内容存档于2008-12-09) . Online HTML version at math.ucr.edu. (原始内容存档于2008-10-09). 
  • Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review. (原始内容存档于2016-09-10).