循环小数

循环小数都为有理数的小数表示形式，例：

${\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}}$ 

${\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}$ 

${\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}$ 

• 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。为了证明这点，可用反证法。假设${\displaystyle n}$ 的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m为，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
• 根据分数${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ 的情况分开讨论

1.除数a为${\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}$ 的倍数时，${\displaystyle b\div a}$ 有max(m,n)个不循环位数，其中${\displaystyle b}$ 为任意自然数，${\displaystyle K}$ 为非${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$ 之其他数。

2.如果${\displaystyle 1\leqslant b<a}$ ，a不是2或5的倍数，并且a与b互素，那么存在一个正整数e，e为${\displaystyle b\div a}$ 的循环节位数，而e=${\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}}$ 。^[1]

${\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}}$ 表示${\displaystyle 10^{e}-1}$ 可以整除a，或称${\displaystyle 10^{e}}$ 与1同余）

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:${\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}}$ 来看，${\displaystyle b>a}$ 也成立，例如${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$ 与${\displaystyle {\frac {9}{7}}}$ ，两者循环小数一致，因为${\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}}$ ，只差别在商，余数皆为1(同余)故成立。

3.承接以上两点，当除数a可以素因数标准分解式表示成${\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times }$ ⋯${\displaystyle \times Pn^{Sn})}$ 时，会有max(m,n)个不循环位数，和${\displaystyle E}$ 个循环节位数。

其中，${\displaystyle P1^{S1}}$ , ${\displaystyle P2^{S2}}$ ,⋯,${\displaystyle Pn^{Sn}}$ 分别各有e₁,e₂,...,e_n个循环节位数，存在一个最小公倍数${\displaystyle E=[}$ e₁,e₂,...,e_n${\displaystyle ]}$ 。

例：${\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}}$ 的循环节个数？

答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为${\displaystyle 3^{2}}$ 的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，[1,6,16]=48）^[2]

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未约至最简)

(⬇另一方法)

1. 先看有几位“非循环节位数（${\displaystyle {\color {blue}n\,\!}}$ ）”和“循环节位数（${\displaystyle {\color {red}m\,\!}}$ ）”，算出后，将${\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$ 摆于“分母”。
2. “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$ ，详细公式如下。
3. 公式：${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}$ 
4. 原理：
   1. 令${\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$ 。
   2. 则${\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$ ──①式。
   3. ${\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$ ──②式。
   4. ②－①⇒${\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$ 。
   5. ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}}$ 。
5. 范例：${\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}}$ 。
   1. 令${\displaystyle x=0.1{\overline {23}}}$ 
   2. 则${\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}}$ 、${\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}}$ 
   3. 两式相减得${\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1}$ ，${\displaystyle 990x=122\,\!}$ 
   4. ∴${\displaystyle x={\frac {61}{495}}}$ 。

利用短除法可以将分数(有理数，${\displaystyle \mathbb {Q} }$ )转化为循环小数。

例如${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$ 可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用“上横线”表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}$ 

• 使用“上点”表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$ 

• 使用“大括号”表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}$ 

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如${\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }$ 

与进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：${\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}$ 

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如${\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}}$ 

又或${\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}}$ 

• 0.999…
• Midy定理