超越数

超越数是代数数的相反，也即是说若${\displaystyle x}$ 是一个超越数，那么对于任何整数${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}}$ 都符合：

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}$ 

（其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ）

超越数的例子包括：

• 钱珀瑙恩数
• 刘维尔数：${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$ 
  它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$ （参见：e）。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}}$  ，其中${\displaystyle a}$ 是除0以外的代数数。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ （参见：圆周率）
  林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因${\displaystyle \pi \,}$ 是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}}$ （参见：e的π次方）
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ （参见：2的√2次方）。
  更一般地，若${\displaystyle a\,}$ 为零和一以外的任何代数数及${\displaystyle b\,}$ 为无理代数数则${\displaystyle a^{b}\,}$ 必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
• ${\displaystyle \sin 1\,}$ （参见：正弦）
• ${\displaystyle \ln a\,}$ （参见：自然对数），其中${\displaystyle a\,}$ 为一不等于1的正有理数。
• ${\displaystyle \mathbf {W} (a)\,}$ （参见：朗伯W函数），其中${\displaystyle a\,}$ 为一正有理数。
• ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,}$  ${\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,}$ ，${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,}$  ${\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,}$ 及${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,}$  ${\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,}$ （参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集，也就是说，几乎所有的实数和复数都是超越数；尽管如此，现今发现的超越数极少，甚至连${\displaystyle \pi +e\,}$ 是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

以下数仍待证明为超越数或代数数：

• 数 e 和${\displaystyle \pi }$ 的大多数和、积、幂等等，例如${\displaystyle \pi +e}$ , ${\displaystyle \pi -e}$ , ${\displaystyle \pi e}$ , ${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}$ , ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$ , ${\displaystyle e^{e}}$ , ${\displaystyle \pi ^{e}}$ , ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$ , ${\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}}$ 尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$ , ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$ 和 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ （对于所有正整数 ${\displaystyle n}$ ）已被证明是超越数^[1][2]
• 欧拉-马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma }$ ，尚未被证明是无理数
• 卡塔兰常数，未被证明是无理数
• 阿培里常数${\displaystyle \zeta (3)}$  ，是无理数
• 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值，${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots }$ （尚未被证明是无理数）
• 费根鲍姆常数，${\displaystyle \delta }$ 与${\displaystyle \alpha }$ ，皆未证明是否为无理数
• 米尔斯常数，未证明是否为无理数
• 辛钦常数，未证明是否为无理数
• 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

• Schanuel猜想（英语：Schanuel's conjecture）
• 四指数猜想（英语：Four exponentials conjecture）

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

为寻找矛盾，假设${\displaystyle e}$ 是代数数。那就存在一个有限的整系数集${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}}$ 满足下列等式：

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$ 

现在对于一个正整数${\displaystyle k}$ ，我们定义如下的多项式：

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$ 

并在上述等式的两端乘上

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$ 

于是我们得到等式：

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$ 

该等式可以写成这种形式

${\displaystyle P+Q=0}$ 

其中

${\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$ 

${\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$ 

引理 1. 对于恰当选择的的${\displaystyle k}$ ， ${\displaystyle {\frac {P}{k!}}}$  是非零整数。

证明： P 的每一项都是整数乘以阶乘的和，这可以从以下的关系式得出

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$ 

对于任何正整数 j 成立（考虑Γ函数）。

它是非零的，因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a ，

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$ 

中的被积函数均为 e^−x 乘以一些项的和，在积分中用 x - a 替换 x 后， x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$ 

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后，我们得到模 (k+1) 得 0 的数。不过，我们可以写成：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$ 

于是

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}$ 

通过选择 k ，使得 k+1 是大于 n 与 |c₀| 的质数，我们可以得出 ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$  模 (k+1) 为非零，从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k ， ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$  。

证明： 注意到

${\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}$ 

使用 ${\displaystyle |x(x-1)\cdots (x-n)|}$  和 ${\displaystyle |(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|}$  在区间 [0,n] 的上限 G 和 H ，我们可以推出

${\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}$ 

从而

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}$ 

于是有

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}$ 

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的${\displaystyle k}$ ，从而我们能得出矛盾。进而得以证明${\displaystyle e}$ 的超越性。

库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数^[3]。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数${\displaystyle x}$ ，可以使得一次多项式${\displaystyle \vert qx-p\vert }$ 尽可能小但不精确地等于 0 。这里的${\displaystyle p}$  , ${\displaystyle q}$ 是满足${\displaystyle \vert p\vert }$ , ${\displaystyle \vert q\vert }$ 以正整数${\displaystyle H}$ 为界的整数。

令${\displaystyle m(x,1,H)}$ 为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$ 

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).}$ 

${\displaystyle \omega (x,1)}$ 常称为实数${\displaystyle x}$ 的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数${\displaystyle \omega (x,1)=0}$ ，而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数${\displaystyle x}$ 的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为${\displaystyle n}$ ，而且高（英语：Height of a polynomial）至多为${\displaystyle H}$ ，此处的${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle H}$ 是正整数。

令${\displaystyle m(x,n,H)}$ 为以${\displaystyle x}$ 为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$ 

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).}$ 

假如对于尽可能小的正整数${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle \omega (x,n)}$ 为无穷大，则这种情况下复数${\displaystyle x}$ 称为${\displaystyle n}$ 次的U数。

现在我们可以定义

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).}$ 

${\displaystyle \omega (x)}$ 常称为${\displaystyle x}$ 的超越性度量（measure of transcendence）。假如${\displaystyle \omega (x,n)}$ 有界，则${\displaystyle \omega (x)}$ 有限，${\displaystyle x}$ 称为S数。如果${\displaystyle \omega (x,n)}$ 有限而无界，则${\displaystyle x}$ 称为T数。${\displaystyle x}$ 为代数数当且仅当${\displaystyle \omega (x)=0}$ 。

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克（英语：William J. LeVeque）在1953年构造了任意次数的U数^[4][5]。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0 ^[6]。

T数组成的集合测度亦为 0 ^[7]。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：Wolfgang M. Schmidt）在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数^[8]。马勒证明了当${\displaystyle x}$ 为任意非零代数数时${\displaystyle e^{x}}$ 均为S数^[9][10]：这点揭示了${\displaystyle e}$ 是S数且给出了${\displaystyle \pi }$ 的超越性证明。对于${\displaystyle \pi }$ 我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ 称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式${\displaystyle P}$ 满足${\displaystyle P(x,y)=0}$ 。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的^[5][11]。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与${\displaystyle e}$ 或${\displaystyle \pi }$ 的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma（英语：Jurjen Koksma） 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类^[3][12]。

考虑用次数${\displaystyle \leq n}$ 且高${\displaystyle \leq H}$ 的代数数逼近复数${\displaystyle x}$ 。令${\displaystyle \alpha }$ 为该有限集中满足${\displaystyle \vert x-\alpha \vert }$ 取最小正值得代数数。定义${\displaystyle \omega ^{*}(x,H,n)}$ 和${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$ 如下：

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$ 

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).}$ 

若对于最小的正整数${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$ 为无穷大，则称${\displaystyle x}$ 为${\displaystyle n}$ 次的U*数。

若${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$ 有界且不收敛到 0 ，则则称${\displaystyle x}$ 为S*数，

一个数${\displaystyle x}$ 被称为 A*数 ，当${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$ 收敛到 0 。

若所有的${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$ 均为有限但无界，则称 x 为T*数，

Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类^[12]。A*数就是代数数^[8]。

勒维克的构造

令

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}}$ 

可以证明${\displaystyle \lambda }$ （刘维尔数）的${\displaystyle n}$ 次方根是${\displaystyle n}$ 次的U数^[13]。

此构造可以改进以建立${\displaystyle n}$ 次U数的不可数个系列。令${\displaystyle Z}$ 为上述${\displaystyle \lambda }$ 的级数中 10 的幂次的集合。${\displaystyle Z}$ 所有子集的集合是不可数的。在表示${\displaystyle \lambda }$ 的级数中删去任意一个${\displaystyle Z}$ 的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的${\displaystyle n}$ 次方根都是次数为${\displaystyle n}$ 的U数。

类型

数列${\displaystyle \{\omega (x,n)\}}$ 的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明^[4]。

• 多项式
• 无理数
• 代数数
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理