不可数集

不可数集有许多等价的定义。一个集合${\displaystyle X}$ 是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

• 不存在从${\displaystyle X}$ 到自然数集合的单射函数。
• ${\displaystyle X}$ 的基数既不是有限的，又不等于${\displaystyle \aleph _{0}}$ （阿列夫-0，自然数集合的基数）。
• ${\displaystyle X}$ 的基数严格大于${\displaystyle \aleph _{0}}$ 。

• 如果不可数集${\displaystyle X}$ 是集合${\displaystyle Y}$ 的子集，则${\displaystyle Y}$ 是不可数集。

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合${\displaystyle \mathbb {R} }$ ；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的基数通常记为${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ，或${\displaystyle \beth _{1}}$ 。

康托尔集是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维，那么它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从${\displaystyle \mathbb {R} }$ 到${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函数的集合。这个集合比${\displaystyle \mathbb {R} }$ 更“不可数”，因为它的基数是${\displaystyle \beth _{2}}$ ，它比${\displaystyle \beth _{1}}$ 还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为${\displaystyle \Omega }$ 或${\displaystyle \omega _{1}}$ 。${\displaystyle \Omega }$ 的基数记为${\displaystyle \aleph _{1}}$ 。利用选择公理，可以证明${\displaystyle \aleph _{1}}$ 是最小的不可数基数。于是，实数的基数${\displaystyle \beth _{1}}$ ，要么等于${\displaystyle \aleph _{1}}$ ，要么严格比它大。康托尔是第一个提出${\displaystyle \beth _{1}}$ 是否等于${\displaystyle \aleph _{1}}$ 的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$ 的陈述现在称为连续统假设，现已知道它独立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

• 可数集
• 阿列夫数
• 自然数
• 单射函数

• Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. 编辑
  • 证明R是不可数集 （页面存档备份，存于互联网档案馆）