康托尔集

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入^[1]^[2]（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯（英语：Henry John Stephen Smith）在1875年发现^[3]^[4]^[5]^[6]），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

一种像康托尔集图案的柱头。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828 请检查|date=中的日期值 (帮助) 菲莱岛雕塑

康托尔集的构造

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间 $\left[0,1\right]$ 中去掉中间的三分之一 $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ ，留下两条线段： $\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]$ 。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段： $\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]$ 。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间 $[0,1]$ 中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

$C_{0}:=[0,1]$

则第 $n$ 步递归得到的结果：

$C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)$ , 对于 $n\geq 1$

所以：

${\mathcal {C}}:=$ $\lim _{n\to \infty }C_{n}$ $=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}$ , 对于 $m\geq 0$ .

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。^[7]^[8]

参见

康托尔函数
康托尔立方体（英语：Cantor cube）
谢尔宾斯基地毯
科赫雪花
门格海绵
分形列表（英语：List of fractals by Hausdorff dimension）

注释

^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
^ Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
^ “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

参考文献

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 29).
Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. cut-the-knot上的康托尔集（页面存档备份，存于互联网档案馆）
cut-the-knot上的康托尔集与函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

Cantor Sets （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Cantor Set and Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot

[1] Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.

[2] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.

[3] Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.

[4] “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.

[5] José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.

[6] Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos

[7] Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.

[8] Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

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