康托尔函数

在数学中,以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数,是一个一致连续,却不绝对连续函数

区间[0,1]上的康托尔函数

定义

康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ,对于x∈[0,1],其函数值c(x)可由以下步骤得到:

  1. 三进制表示x。
  2. 如果x中有数字1,就将第一个1之后的所有数字换成0。
  3. 将所有数字2换成数字1。
  4. 二进制读取转换之后的数,这个数即为c(x)。

例如:

  • 1/4以三进制表示为0.020202...,其中并没有1,因此经过第二步仍然是0.020202...,第三步转换为0.010101...,将其视为二进制,则为1/3,因此c(1/4)=1/3。
  • 1/5以三进制表示为0.01210121...,第二步转换为0.01,由于其中没有2,因此经过第三步后仍是0.01,视为二进制则为1/4,因此c(1/5)=1/4。
  • 200/243以三进制表示为0.21102(即0.2110122222...),第二步转换为0.21,第三步转换为0.11,视为二进制则为3/4,因此c(200/243)=3/4。


其它定义

性质构造

若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件,则f(x)即为康托尔函数:[1]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

迭代构造

下面我们构造一个函数序列{fn(x)},这个序列将收敛于康托尔函数: 首先定义

 

接下来,对于每个正整数n,函数fn+1(x)都由函数fn(x)定义:

 

检查 fn(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数,我们可以发现,

 

设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有,

 

另外可以注意到只要满足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函数f0(x)具体是什么函数并不重要。

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cantor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-01-23]. (原始内容存档于2019-02-14) (英语).