E的π次方

在十进制中，e^π大约为

${\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.}$ 

它的值可以用以下迭代来求出。定义

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}$ 

其中${\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$ 

则

${\displaystyle \left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}}$ 

迅速收敛于${\displaystyle e^{\pi }}$ 。

n维球体的体积由以下公式给出：

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}$ 

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.}$ 

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}$ 

拉马努金常数

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}}$ 

即所谓的拉马努金常数，是黑格纳数的一个应用，其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。

同 e^π - π 一样，e^π√163 非常接近整数：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=}$  7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}$ 

虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现，但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数，因而以他为名。

这种非常近似于 640320³ + 744 的巧合，可以用 j-invariant（英语：j-invariant）的复数乘法（英语：complex multiplication）及q展开来表示。

${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$ 

且

${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$ 

而 O(e^-π√163) 是误差项。

${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$ 

这解释了为何 e^π√163 比 640320³ + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。（这个证明的细节，可以参考黑格纳数）。

数 e^π - π

由 A018938 所给出 e^π - π 的十进制表示为

${\displaystyle e^{\pi }-\pi =}$  7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

尽管这个数非常接近正整数 20 ，但目前没有关于这个现象的解释；因此，被认为是一种数学巧合。

数 π^e

由 A059850 给出的 π^e 十进制表示为：

${\displaystyle \pi ^{e}=}$  7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前还不知此数是否是超越数。

须注意的是，根据 格尔丰德-施奈德定理，只有在 a 是代数数，而 b 是非有理数（a，b 都是复数，且 a ≠ 0, a ≠ 1）的情况下，a^b 才为超越数。

之所以可以证明 e^π 是超越数，其原因在于复数的指数形式，因为 π 可以被视为复数 e^π 的模，而根据 (-1)^-i 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

π^e 则没有如此的等式，所以，尽管 π 和 e 都是超越数，但我们不能由此说 π^e 是超越数。

数 e^π - π^e

如同 π^e，我们仍不知 e^π - π^e 是否是超越性质的。甚至，目前还没有证明说它是无理数：

由 A059850 给出的 e^π - π^e 十进制表示为：

${\displaystyle e^{\pi }-{\pi }^e=}${\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=}   6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

数 iⁱ

${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$ 

由  A059850给出的 iⁱ 十进制表示为：

${\displaystyle i^{i}=}$  6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因为上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的：

i 是代数数，但同时不是有理数，由此iⁱ 是超越数。

• 格尔丰德-施奈德常数
• 格尔丰德-施奈德定理
• 希尔伯特第七问题

1. ^ Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914. 
2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

• MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆）