斯里尼瓦瑟·拉马努金

童年和早年生活

斯里尼瓦瑟出生于英属印度，属于婆罗门种姓。1898年，斯里尼瓦瑟十岁的时候，进入英属印度政府的一所小学就读，在那里他似乎第一次接触到正规的数学。11岁时，他已经掌握了住在他家的房客的数学知识，他们是政府大学的学生。到13岁，从借来的书里掌握了高等三角学的知识。他的传记作家称他的天赋在14岁时开始显露。他不仅在学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1,200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他甚至在给定时间一半内完成测验，还已经显示出对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：“我们，包括老师，很少可以理解他，并对他‘敬而远之’”。但是，拉马努金对于其他科目无法集中注意力，并在高中考试中不及格。在他生活的这个时段，他也相当穷困，经常到了挨饿的地步。

在印度的成年阶段

因为结了婚，他必须找到工作。凭借着他的数学计算能力，他在金奈（旧称马德拉斯）到处找抄写员的工作。最后他终于找到了一个工作，并在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员取得联系。

作为金奈总会计师事务所的职员，拉马努金渴望可以完全投入到数学中而不用做其他工作。他恳请有影响力的印度人给予支持，并在印度数学期刊上发表了一些论文，但并未成功找到经济支持。到这个时候，慕克吉（Ashutosh Mukherjee）爵士试图支持他的事业。

在1913年拉马努金发了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术界人士贝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. Hobson）、哈代（G. H. Hardy），只有三一学院的院士哈代注意到拉马努金在定理中所展现的天赋。

读完印度这位不知名业余数学家的唐突来信后，哈代和他的同事利特尔伍德（J. E. Littlewood）评论道：“没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。”即使哈代是当时著名的数学家，而且是其中几个领域中的专家，他仍说：“（拉马努金所写下的许多东西）完全打败了我”、“我从没见过任何像这样的东西。”

作为他的成果的一个例子，拉马努金给出了漂亮的连分数：

${\displaystyle {\sqrt {\phi +2}}-\phi ={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}=0.2840...}$ 

其中${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 是黄金分割。

在英国的生活

经历起初的一些怀疑过后，哈代回信给出了一些评论，要求其中一些发现的具体证明过程，并开始计划将拉马努金带到英国。作为正统的婆罗门，拉马努金咨询了他的旅行星象，因为出于宗教考虑，到外国去他可能失去他的种姓。拉马努金的母亲做了个梦，其中家族女神告诉她不要阻拦儿子的行程，所以他制定了行程，但他依旧尽力保持婆罗门的生活方式。

富有成果的合作开始了。哈代将之描述为：“我一生中最浪漫的事”。哈代评论拉马努金的公式，有些他起先不能理解，他说：“只要看它们一眼就知道只有一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想象力来发明他们。”哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金，并称拉马努金的天赋至少与数学巨人欧拉和雅可比（Carl Jacobi）相当。拉马努金后来成为三一学院的院士，并得到了科学界最高级别的荣誉，英国皇家学会会员（FRS）。

疾病和返回印度

健康问题困扰了他的后半生。由于过度投入研究工作，拉马努金的健康在英国急剧恶化。压力的加剧以及第一次世界大战时蔬菜的稀缺可能导致病情变得更加严重。他被诊断为肺结核（Henderson, 1996年）以及严重维生素不足，但1994年由杨格（Dr. D.A.B Young）进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论为更可能他有肝变形虫病，一种感染肝脏的寄生虫。拉马努金在金奈待了很长时间这一事实进一步证实这一点，那是这种疾病广泛传播的沿海城市。那在当时是很难诊断的疑症，但一旦诊断当时已可治愈（Berndt, 1998年）。他于1919年返回印度，之后不久便在贡伯戈讷姆去世，他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。他的妻子贾纳姬（S. Janaki Ammal）搬到孟买，1950年回到金奈生活，直至1994年逝世。结婚时贾纳姬才九岁，在当时的印度是相当常见的（Henderson, 1996年）。

拉马努金终生过着婆罗门的生活。关于他实际信仰的观点有很多区别：他的第一个印度传记作者把他描述为一个严格正统的婆罗门，而哈代（坚定的无神论者）相信他在涉及到形而上学的方面基本上是一个不可知论者。

哈代报道了拉马努金的一个断言说所有宗教一样正确。卡尼盖尔（Robert Kanigel）的传记则称拉马努金可能不会给哈代看到他宗教的一面；另一方面来讲，卡尼盖尔通常描写哈代的负面形象。

拉马努金将他的理解归功于他的家族女神纳玛姬莉（Namagiri：被视为Lakshmi吉祥天女的化身），并表示在他的工作中向她寻求灵感。他经常说：“一个方程对我没有意义，除非它代表了神的一个想法。”

在数学上，有洞察力和能推导出具体证明是截然不同的。拉马努金天才地提出了大量的公式，供人深入研究，并开启了新的研究方向。例如一些和圆周率相关的奇妙的无穷级数，像是：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$ 

这和如下事实相关：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.00000017...}$ 

他也提出许多恒等式，例如：

${\displaystyle {\frac {1}{\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos n\theta }{\cosh n\pi }}\right)^{2}}}+{\frac {1}{\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh n\theta }{\cosh n\pi }}\right)^{2}}}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}$ 

对所有θ都成立，此处Γ(z)代表伽玛函数。

比较恒等式两边θ之不同幂的系数，就可以得出双曲正割的许多恒等式。

哈代这样评论拉马努金：

定理和发现

以下包括拉马努金自己的发现，和与哈代的合作中发现和证明的定理

• 高度合成数的性质
• 整数分割函数和它的渐近线
• 拉马努金θ函数

他也在下列领域做出重大突破和发现：

• 伽玛函数
• 模形式
• 发散级数
• 超几何级数
• 质数理论

他的发现异常丰富；甚至很多在日后被发现，其内涵比原本乍看之下还要丰富许多。

拉马努金猜想

虽然拉马努金提出的很多命题都有资格被称为拉马努金（的）猜想，但其中一个特别有影响力，所以“拉马努金猜想”通常指的是它。拉马努金猜想断定了拉马努金τ函数的大小。这里说的τ函数的生成函数是模判别式 Δ(q)（模形式理论中一种典型的尖形式（cusp form））。这个猜想在1973年终于被证明，可由皮埃尔·德利涅证明的魏依猜想推论而得，其化简步骤相当复杂。

拉马努金的笔记

当他还在印度时，拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。结果被写下来，但没有推导过程。这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。Berndt在他对这些笔记和拉马努金的工作的评论中，感到拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明，只是选择了不做证明。

这种工作风格可能有几个原因。因为纸在那时很贵，拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明，然后只将结果转移到纸上。在当时的印度，使用写字板对于数学的学生来讲很常见。他也可能受一本书的影响——他大部分的高等数学知识的来源卡尔（G. S. Carr））《纯数学和应用数学概要》（Synopsis of Pure and Applied Mathematics），这是卡尔用来教授数学的。它总结了几千个结果，不带证明的给出了它们。最后，可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的；所以只记录了结果。（Berndt, 1998）

第一本笔记有351页，大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页，散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。他笔记本中的结果激发了大量论文，由后世企图证明他的发现的数学家所写。哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文，就像沃森（G. N. Watson）、威尔逊（B. M. Wilson）和伯恩特（Bruce Berndt）所作的一样。（Berndt, 1998）

拉马努金是印度在过去一千年中所出的非常伟大的数学家，他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑。在死后80多年，他的论文中埋藏的秘密依然正在被挖掘。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。^[1]美国作家罗伯特·卡尼盖尔所著传记《知无涯者：拉马努金传》后被中国数学家，武汉大学前校长齐民友等翻译成中文。

拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我搭计程车来，车牌号码是${\displaystyle 1729}${\displaystyle 1729}  ，这数字真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，这个数有趣得很。在所有可以用两个立方数之和来表达而且有两种表达方式的数之中，${\displaystyle {1729}}$ 是最小的。”（即${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$ ，后来这类数称为的士数。）哈代引述利特尔伍德的话说：“每个正整数都是拉马努金的朋友。”^[2]