整数分拆

4可以用5种方法写成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 ${\displaystyle p(4)=5}$ 。

定义 ${\displaystyle p(0)=1}$ ，若n为负数则 ${\displaystyle p(n)=0}$ 。

此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。

分割函数p(n)，n从0开始：

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)

程式实现

#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;

int main() {
	const int len = MAXLENTH;
	long num[len + 1] = { 1 };

	for (int i = 1; i <= len; ++i)
		for (int j = i; j <= len; ++j)
			num[j] += num[j - i];

	for (int i = 0; i <= len; i++)
		cout << i << " " << num[i] << endl;
	return 0;
}

每种分割方法都可用Ferrers图示表示。

Ferrers图示是将第1行放${\displaystyle a_{1}}$ 个方格，第2行放${\displaystyle a_{2}}$ 个方格……第${\displaystyle k}$ 行放${\displaystyle a_{k}}$ 个方格，来表示整数分割的其中一个方法。

借助Ferrers图示，可以推导出许多恒等式：

• 给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。

证明：将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射，便得到后者的一个数组。即两者一一对应，因此其数目相同。

例如 k=3，n=6：

此外，

${\displaystyle 6=1+5=1+1+1+1+2}$ 

${\displaystyle 6=2+4=2+2+1+1}$ 

${\displaystyle 6=3+3=2+2+2}$ 

${\displaystyle 6=6=1+1+1+1+1+1}$ 

• 上述恒等式的值亦等于将${\displaystyle n+k}$ 表达成刚好${\displaystyle k}$ 个正整数之和的方法的数目。

• 给定正整数${\displaystyle n}$ 。将${\displaystyle n}$ 表达成两两相异正整数之和的方法的数目，等于将${\displaystyle n}$ 表达成奇数之和的方法的数目。

例如${\displaystyle n=8}$ ：

1. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 7 + 1
3. 3 + 3 + 1 + 1
4. 5 + 3
5. 5 + 1 + 1 + 1
6. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 5 + 3
5. 5 + 2 + 1
6. 4 + 3 + 1

• 将${\displaystyle n}$ 表达成${\displaystyle p}$ 个1和${\displaystyle q}$ 个2之和，这些方法的数目是第${\displaystyle n}$ 个斐波那契数。

• 将${\displaystyle n}$ 表达成多于1的正整数之和的方法数目是p(n) - p(n-1)。

${\displaystyle p(n)}$ 的生成函数是

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)}$ 

当|x|<1，右边可写成：

${\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3}+...)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+...)(1+x^{3}+x^{6}+...)...}$ 

${\displaystyle p(n)}$ 生成函数的倒数为欧拉函数，利用五边形数定理可得到以下的展开式：

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=\sum _{i=-\infty }^{\infty }(-1)^{i}x^{i(3i-1)/2}.}$ 

将${\displaystyle p(n)}$ 生成函数配合五边形数定理，可以得到以下的递归关系式

${\displaystyle p(n)=\sum _{i}(-1)^{i-1}p(n-q_{i})}$ 

其中${\displaystyle q_{i}}$ 是第${\displaystyle i}$ 个广义五边形数。

一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的 分拆更具有直观性，和可处理性，下面是几个例子。

分拆的转置

整数分拆（10=5+4+1）对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。

渐近式：

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {\exp \left(\pi {\sqrt {2n/3}}\right)}{4n{\sqrt {3}}}}{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty .}$ 

这式子是1918年哈代和拉马努金，以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。

1937年，Hans Rademacher得出一个更佳的结果：

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n)\;{\sqrt {k}}\;{\frac {d}{dn}}\left({\frac {\sinh \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right)}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right)}$ 

其中

${\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k\;;\;(m,k)=1}\exp \left(\pi is(m,k)-2\pi inm/k\right).}$ 。

${\displaystyle (m,n)=1}$ 表示${\displaystyle m,n}$ 互质时才计算那项。${\displaystyle s(m,k)}$ 表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆（英语：Ford circle）、法里数列、模群（英语：Modular group）。

在将${\displaystyle n}$ 表示成正整数之和的所有和式之中，任意正整数${\displaystyle r}$ 作为和项出现在这些式子内的次数，跟每条和式中出现${\displaystyle r}$ 次或以上的正整数数目，相同。

当${\displaystyle r=1}$ 时，此定理又称为Stanley定理。^[1][2]

以${\displaystyle n=5}$ 为例：

• 5
• 4+1
• 3+2
• 3+1+1
• 2+2+1
• 2+1+1+1
• 1+1+1+1+1

1. 1的总出现次数：0+1+0+2+1+3+5=12；在每条和式出现1次或以上的数的数目：1+2+2+2+2+2+1=12
2. 2的总出现次数：0+0+1+0+2+1+0=4；在每条和式出现2次或以上的数的数目：0+0+0+1+1+1+1=4。

以下叙述带有附加条件的分拆。

差分拆

考虑满足下面条件分拆

1. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n}$  （${\displaystyle k}$ 的大小不定）
2. ${\displaystyle a_{1}>a_{2}>\cdots >a_{k}}$  即分拆的每个数都不相等。

生成函数是

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+x^{k}\right)}$ 

奇分拆

考虑满足下面条件分拆

1. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n}$  （${\displaystyle k}$ 的大小不定）
2. ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}}$ 
3. 要求 ${\displaystyle a_{i}(i=1,2,\ldots ,k)}$ 为奇数

生成函数是

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{2k-1}}}\right)}$ .

引理

差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

部分个数上限的分拆

当限定将${\displaystyle n}$ 表示成刚好${\displaystyle k}$ 个正整数之和时，可以表示为${\displaystyle p_{k}(n)}$ 。显然，${\displaystyle p(n)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)}$ 。

• 对于${\displaystyle n>1}$ ，${\displaystyle p_{n}(n)=p_{1}(n)=1}$ 
• ${\displaystyle p_{2}(n)=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$  (OEIS:A004526)
• ${\displaystyle p_{3}(n)}$  = 最接近${\displaystyle {\frac {n^{2}}{12}}}$ 的正整数。(OEIS:A069905)
• ${\displaystyle p_{n-1}(n)=1}$ 
• ${\displaystyle p_{k}(n)=p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)}$ 

不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目：

• 将正整数写成模p同余r的正整数之和
• 将模p同余r正整数写成的正整数之和^[3]

• Lectures on Integer Partitions （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Herbert S. Wilf