五边形数定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数展开式的特性[1][2]。欧拉函数的展开式如下:

亦即

欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数

若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数来考虑,就不会考虑其收敛半径。

和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数母函数,亦即:

 

其中 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理,可以得到

 

考虑 项的系数,在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得

 

因此可得到分割函数p(n)的递归

 

以n=10为例

 

参考资料

  1. ^ 原文为Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti   etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55. 
  2. ^ 英文翻译版为Bell, J在2004-12-4翻译的《The Expansion of the Infinite Product   etc. into a Single Series》,http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.


外部链接