渐近线

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（英语：Asymptote^{[注 1]}）是一条使得当x或y坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平，垂直和倾斜。对于由函数y =ƒ（x）的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着x趋于+∞或-∞趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当x趋于+∞或-∞时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点 $M$ 沿曲线无限远离原点时，如果 $M$ 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。数学上的定义则是：若函数 $y=f\left(x\right)$ 的图形收敛，则渐近线为 $y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$ 。

例解

例如，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是双曲线 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 的渐近线，因为双曲线上的点 $M$ 到直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 的距离 $MQ<MN$ ；当 $MN$ 无限趋近于0时， $MQ$ 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是该双曲线的渐近线。同理，直线 $y=-{\frac {b}{a}}x$ 也是该双曲线的渐近线。

对于 $F\left(x,y\right)=0$ 来说，如果当 $x\rightarrow a$ 时，有 $y\rightarrow \pm \infty$ (左右极限不一定相等)，就把 $x=a$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的垂直渐近线；如果当 $x\rightarrow \infty$ 时，有 $y\rightarrow b$ ，就把 $y=b$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的水平渐近线。例如， $y=3$ 是曲线 $xy=3x+2$ 的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$ 存在，且极限 $\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$ 也存在，那么曲线 $y=f\left(x\right)$ 具有渐近线 $y=ax+b$ 。

例子

例：求 $y={\frac {x^{2}}{1+x}}$ 的渐近线。

解：(1) $x=-1$ 为其垂直渐近线。

(2) $\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$ ，即 $a=1$ ；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$ ，即 $b=-1$ ；

所以 $y=x-1$ 也是其渐近线。

注释

^ 渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος（asumptōtos），意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的，但与它的现代含义相反，他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。

[1] 渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος（asumptōtos），意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的，但与它的现代含义相反，他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。

[注 1]