双曲线

上面已经列出：

• 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
• 与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。
• 到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于${\displaystyle 1}$ 的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的偏心率。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率${\displaystyle \pm {\frac {b}{a}}}$ ，对于北南开口的双曲线有斜率${\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}}$ 。

双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程${\displaystyle xy=c}$ 给出，这里的${\displaystyle c}$ 是常数。

如果对双曲线方程交换${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

中心位于${\displaystyle (h,k)}$ 的左右开口的双曲线：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

中心位于${\displaystyle (h,k)}$ 的上下开口的双曲线：

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，${\displaystyle a}$ 是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而${\displaystyle b}$ 是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是${\displaystyle 2b}$ ，平行于实轴的两边的长度是${\displaystyle 2a}$ ，注意${\displaystyle b}$ 可以大于${\displaystyle a}$ 。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是${\displaystyle 2a}$ 。

离心率给出自：

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ 

左右开口的双曲线的焦点是：${\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}$ ，其中c给出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 。

上下开口的双曲线的焦点是：${\displaystyle \left(h,k\pm c\right)}$ ，其中c给出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 。

等轴双曲线

等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即${\displaystyle 2a=2b}$ 且${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ，此时渐近线方程为${\displaystyle y=\pm x}$ （无论焦点在${\displaystyle x}$ 轴还是${\displaystyle y}$ 轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为${\displaystyle 1}$ ，即${\displaystyle a=b=1}$ ，满足方程：

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ 或${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ 。

对于以直线${\displaystyle x=h}$ 和直线${\displaystyle y=k}$ 为渐近线的直角双曲线：

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$ 

这种双曲线最简单的例子是：

${\displaystyle y={\frac {m}{x}}}$ 

共轭双曲线

当双曲线${\displaystyle S'}$ 的实轴是双曲线${\displaystyle S}$ 的虚轴，且双曲线${\displaystyle S'}$ 的虚轴是双曲线${\displaystyle S}$ 的实轴时，称双曲线${\displaystyle S'}$ 与双曲线${\displaystyle S}$ 为共轭双曲线。若${\displaystyle S}$ 的方程为

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$ 

则${\displaystyle S'}$ 的方程为

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}$ 

其特点为：

1. 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
2. 焦距相等。
3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于${\displaystyle 1}$ 。

左右开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta }$ 

上下开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta }$ 

上右下左开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta }$ 

上左下右开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta }$ 

在所有公式中，中心在极点，而${\displaystyle a}$ 是半实轴和半虚轴。

如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线：

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}}$ 

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}}$ 

上下开口的双曲线：

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}}$ 

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}}$ 

在所有公式中，${\displaystyle (h,k)}$ 是双曲线的中点，${\displaystyle a}$ 是半实轴而${\displaystyle b}$ 是半虚轴。

焦点在${\displaystyle x}$ 轴：${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

焦点在${\displaystyle y}$ 轴：${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

焦线平行于${\displaystyle x}$ 轴：${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$ 

焦线平行于${\displaystyle y}$ 轴：${\displaystyle y=\pm {\frac {a}{b}}x}$ 

${\displaystyle \rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}}$ 

当${\displaystyle e>1}$ 时，表示双曲线。其中${\displaystyle p}$ 为焦点到准线距离，${\displaystyle \theta }$ 为弦与${\displaystyle x}$ 轴夹角。

• Unit hyperbola. PlanetMath. 
• Conic section. PlanetMath. 
• Conjugate hyperbola. PlanetMath. ^{[失效链接]}
• Mathworld - Hyperbola（页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 圆锥曲线
• 双曲函数