双曲函数

最简单的几种双曲函数为^[1]：

• 双曲正弦：

  ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ 

• 双曲余弦：

  ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$ 

• 双曲正切：

  ${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$ 

• 双曲余切：当${\displaystyle x\neq 0}$ 

  ${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$ 

• 双曲正割：

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$ 

• 双曲余割：当${\displaystyle x\neq 0}$ 

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$ 

函数${\displaystyle \cosh x}$ 是关于y轴对称的偶函数。函数${\displaystyle \sinh x}$ 是奇函数。

如同当${\displaystyle t}$ 遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 时，点（${\displaystyle \cos t}$ , ${\displaystyle \sin t}$ ）的轨迹是一个圆${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ 一样，当${\displaystyle t}$ 遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 时，点（${\displaystyle \cosh t}$ , ${\displaystyle \sinh t}$ ）的轨迹是单位双曲线（英语：Unit hyperbola）${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ 的右半边。这是因为有以下的恒等式：

${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}$ 

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（${\displaystyle \cosh t}$ , ${\displaystyle \sinh t}$ ）的直线之间的面积的两倍。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数^[2]，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积^[3]。自然对数函数是在直角双曲线${\displaystyle xy=1}$ 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线${\displaystyle y=x}$ 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角${\displaystyle u}$ ，在渐近线即x或y轴上需要有的${\displaystyle x}$ 或${\displaystyle y}$ 的值。显见这里的底边是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ，垂线是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

• ${\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}}$ 
• ${\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}}$ 

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线${\displaystyle xy=1}$ 下双曲角的${\displaystyle {1 \over 2}}$ 。

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果${\displaystyle x}$ 是实数而${\displaystyle i^{2}=-1}$ ，则

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad }$  ${\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}$ 

所以双曲函数${\displaystyle \cosh }$ 和${\displaystyle \sinh }$ 可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成${\displaystyle \cosh }$ 函数，后者形成了${\displaystyle \sinh }$ 函数。${\displaystyle \cos }$ 函数的无穷级数可从${\displaystyle \cosh }$ 得出，通过把它变为交错级数，而${\displaystyle \sin }$ 函数可来自将${\displaystyle \sinh }$ 变为交错级数。上面的恒等式使用虚数${\displaystyle i}$ ，从三角函数的级数的项中去掉交错因子${\displaystyle (-1)^{n}}$ ，来恢复为指数函数的那两部分级数。

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}}$ 

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

• 双曲正弦：^[1]

  ${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}$ 

• 双曲余弦：^[1]

  ${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}$ 

• 双曲正切：

  ${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}$ 

• 双曲余切：

  ${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}$ 

• 双曲正割：

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}$ 

• 双曲余割：

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}$ 

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线^[4]。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角${\displaystyle \alpha }$ 得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

• 正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
• 余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。
• 正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。
• 余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。
• 正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。
• 余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。
• 角的量值可以从0到无限大，但${\displaystyle \alpha }$ 实际上只会介于${\displaystyle 0}$ 到${\displaystyle 2\pi }$ （360度）之间，其余是${\displaystyle \alpha }$ 的同界角，再绕着圆旋转，故三角函数可以有周期。双曲角的量值可以从${\displaystyle 0}$ 到无限大，但${\displaystyle \alpha }$ 实际上不会超过${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ （45度），故无法如三角函数一样有周期性。

与双曲函数有关的恒等式如下:

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$ 

• 加法公式：

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}$ 

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}$ 

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}}$ 

• 二倍角公式：

${\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x}$ 

${\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1}$ 

• 半角公式：

${\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}$ 

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}$ 

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个${\displaystyle \sinh }$ 的积的项（包括${\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y}$ ）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式^[5]。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

${\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x}$ 

${\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}$ 

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

${\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x}$ 

${\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}$ 

• 差角公式：

三角函数的差角公式为：${\displaystyle \cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y}$ 

而对应的双曲函数的差角公式则是：${\displaystyle \cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,}$ 

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$ 

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ （罗朗级数）

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ （罗朗级数）

其中

${\displaystyle B_{n}}$ 是第${\displaystyle n}$ 项伯努利数

${\displaystyle E_{n}}$ 是第${\displaystyle n}$ 项欧拉数

${\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}$ 

${\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}$ 

${\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}$ 

${\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}$ 

${\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}$ 

${\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}$ 

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}$ 

和

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}$ 

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数${\displaystyle \sinh z}$ 和${\displaystyle \cosh z}$ 是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}$ 

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}$ 

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为${\displaystyle 2\pi i}$ （对双曲正切和余切是${\displaystyle \pi i}$ ）。

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}}$ 

• 反双曲函数
• 双曲函数符号
• 三角函数
• 古德曼函数