双曲线扇形

双曲线扇形是指在一个笛卡儿坐标平面${\displaystyle {(x,y)}}$ 之上，双曲线${\displaystyle xy=1}$与从原点${\displaystyle (0,0)}$出发的两条射线相交处的两点${\displaystyle (a,1/a)}$和${\displaystyle (b,1/b)}$之间的面积。

一个标准位置的双曲线扇形有${\displaystyle a=1}$及${\displaystyle b>1}$。

处于标准位置的双曲线扇形的面积是 ${\displaystyle \ln b}$ 。

证明：

黄色部分的面积相等于三角形${\displaystyle {(0,0),(1,0),(1,1)}}$的面积加上双曲线底下从${\displaystyle 1}$ 到${\displaystyle b}$ 的面积，再减去白色三角形${\displaystyle {(0,0),(b,0),(b,1/b)}}$的面积。所以，黄色部分的面积为：

${\displaystyle \int _{1}^{b}{dx \over x}+{1 \over 2}-{1 \over 2}\times b\times {1 \over b}=\int _{1}^{b}{dx \over x}=\ln b}$

处于标准位置的双曲线扇形与正值的双曲角相对应。