伯努利数

伯努利数B_n是等幂求和的解析解中最为明显的特征，定义等幂和如下，其中m, n ≥ 0：

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}}$ 

这数列和的公式必定是变量为n，次数为m +1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下：

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}$ 

其中(m + 1
k) 为二项式系数。

举例说，把m取为1，我们有${\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}$ 

伯努利数最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他来命名。

伯努利数可以由下列递归公式计算：

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0}$ ，

初值条件为B₀ = 1。

伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/（e^x − 1），使得对所有绝对值小于2π的x（幂级数的收敛半径），有

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$ 。

有时会写成小写b_n，以便与贝尔数分别开。

最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641和A027642。

可以证明对所有不是1的奇数n有B_n = 0。

数列中乍看起来突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示伯努利数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。

伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。

在1842年的爱达·勒芙蕾丝的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的算法。

欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为：

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}}$ 。

在[−1, 0]区间上的连续均匀概率分布的n阶累积量是B_n/n。

伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为B_n = − nζ（1 − n），也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔（Kummer）研究费马大定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理（Herbrand-Ribet）描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）给出。伯努利数还和代数K理论有关：若c_n是B_n/2n的分子，那样${\displaystyle K_{4n-2}(\mathbb {Z} )}$ 的阶是−c_2n若n为偶数；2c_2n若n为奇数。

与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理（von Staudt-Clausen）。这定理是说，凡是适合p − 1整除n的素数p，把1/p加到B_n上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数B_n的分母的特征：这些分母是适合p − 1整除n的所有素数p的乘积；故此它们都无平方因子，也都可以被6整除。

吾乡-朱加猜想猜测p是素数当且仅当pB_p−1模p同余于−1。

p进连续性

伯努利数的一个特别重要的同余性质，可以表述为p进连续性。若b，m和n是正整数，使得m和n不能被p − 1整除，及${\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)}$ ，那么

${\displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}}$ 。

因为${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}$ ，这也可以写成

${\displaystyle (1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,}$ ，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同余于1。这告诉我们，黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉${\displaystyle 1-p^{z}}$ 后，对适合模p − 1同余于某个${\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1}$ 的负奇数上的p进数连续，因此可以延伸到所有p进整数${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}$ ，得出p进ζ函数。

在${\displaystyle n\geq 2}$ 时给出可平行流形边界的怪（4n−1）球，对于它们的微分同胚类的循环群的阶，有凯尔韦尔-米尔诺公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利数。若B是B_4n/n的分子，那么这种怪球的数目是${\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B}$ 。（拓扑学文章中的公式与这里不同，因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。）

• 等幂求和
• 黎曼ζ函数

• 伯努利数网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 整数数列线上大全——与伯努利数有关的数列的记录
• 首498个伯努利数 （页面存档备份，存于互联网档案馆）取自古登堡计划

1. ^ A164555.