理想类群

设 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  为戴德金整环。此时 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  中的非零理想对乘法构成一个交换幺半群。

今将定义其上的等价关系：设 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$  为二非零理想，定义

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}}$ 

理想幺半群对此关系的商构成一个交换群 ${\displaystyle \mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})}$ ，称为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  的理想类群。

另一套进路是考虑 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  的非零分式理想构成之交换群，再考虑它对主分式理想 ${\displaystyle \{(q):q\in K^{\times }\}}$  之商，由此得到的对象自然同构于理想类群。

• 理想类群为平凡群的充要条件是该戴德金整环为主理想环。
• 设 ${\displaystyle K}$  为数域，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  为其中的代数整数环，因而是戴德金整环。此时可证明 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  是有限群。其元素个数记为 ${\displaystyle h_{K}}$ ，称作类数。

考虑二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$ 。考虑理想

${\displaystyle J=(2,1+{\sqrt {-5}})}$ 。

易证此非主理想，因此理想类群非零。事实上，其理想类群是二阶循环群。