戴德金整环

戴德金整环指的是有乘法单位元素 ${\displaystyle 1}$ ，并具备下述性质的交换诺特整环 ${\displaystyle A}$ ：

1. ${\displaystyle A}$  不是域。
2. ${\displaystyle A}$  的非零素理想皆为极大理想。
3. ${\displaystyle A}$  整闭。

前两条可合并为：${\displaystyle A}$  之克鲁尔维度等于一。另一种表述方式如下：

1. ${\displaystyle A}$  对任意极大理想之局部化为离散赋值环。
2. ${\displaystyle A}$  的非零理想皆可逆。换言之：对任意理想 ${\displaystyle 0\neq I\subset A}$ ，存在 ${\displaystyle A}$  的分式环 ${\displaystyle K(A)}$  中的有限生成 ${\displaystyle A}$ -子模 ${\displaystyle J}$ ，使得 ${\displaystyle I\cdot J=A}$ 。

• 主理想环与域上的多项式环皆为戴德金整环。
• 交换代数的一条定理断言：若 ${\displaystyle A}$  是戴德金整环，${\displaystyle K=K(A)}$  为其分式域，${\displaystyle L/K}$  是有限扩张，则 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle L}$  中的整闭包也是戴德金整环。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  是最基本的例子，再配合前述定理，可知数域中的代数整数环皆为戴德金整环。这是戴德金整环在代数数论中的主要应用，也是戴德金引介此概念的原始动机。

戴德金整环的分式理想定义为分式环 ${\displaystyle K(A)}$  中形如 ${\displaystyle aI}$  之 ${\displaystyle A}$ -子模，其中 ${\displaystyle a\in K(A)^{\times }}$  而 ${\displaystyle I}$  是 ${\displaystyle A}$  中的理想。分式理想之间可以定义乘法 ${\displaystyle aI\cdot bJ=abJ}$ ，因而非零分式理想构成一个么半群，其单位元素为 ${\displaystyle A}$ 。戴德金整环的性质保证此结构是一个群，换言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 ${\displaystyle I}$  可由某元素 ${\displaystyle a\in A}$  生成，则称之主理想；可采类似办法定义主分式理想。

此外，戴德金整环中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 ${\displaystyle I}$  可唯一地表成

${\displaystyle I=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{r_{\mathfrak {p}}}}$ 

其中 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  过有限个 ${\displaystyle A}$  的素理想，${\displaystyle r_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {Z} }$ 。${\displaystyle I}$  是理想当且仅当 ${\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\;r_{\mathfrak {p}}\geq 0}$ 。

在一般的数域 ${\displaystyle K}$  上，代数整数未必能唯一地表成素数的乘积，但可唯一表成素理想的乘积。在所有理想中，仅有主理想对应到“真正”的代数整数。此时重要的不变量是理想类群与类数，它们量度了理想与主理想的差距：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{K}:=}$  (分式理想)/(主分式理想)

${\displaystyle h_{K}:=|\mathrm {Cl} _{K}|}$ 

可证明理想类群总是有限交换群。

• Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley