代数整数

以下是代数整数四种相互等价的定义。设K为代数数域（有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张）。根据本原元定理，K可以写成${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ 的形式。其中${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$ 是某个代数数。设有${\displaystyle \alpha \in K}$ ，则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立：

1. 存在整系数多项式：${\displaystyle P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]}$ ，使得${\displaystyle P(\alpha )=0}$ 。
2. α在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的极小首一多项式是整系数多项式。
3. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ 是有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。
4. 存在有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -子模：${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$ ，使得${\displaystyle \alpha M\subseteq M}$ 。

• 有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中的代数整数就是整数。换句话说，${\displaystyle \mathbb {A} }$ 和${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 交集是整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

有一个根是有理数：${\displaystyle \scriptstyle r={\frac {p}{q}}}$ ，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除${\displaystyle a_{m}}$ ，以及分子p 整除${\displaystyle a_{0}}$ 。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高幂次项，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式${\displaystyle \displaystyle x-n}$ 的根，所以是代数整数。

• 一个给定的代数数域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 与${\displaystyle \mathbb {A} }$ 的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ，那么对应的整数环中不仅有整数，还有${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，因为${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是首一多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-2}$ 的根。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 不是代数整数。这是因为${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 在有理数域上的最小多项式是${\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}-1}$ ，不是一个首一多项式。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 是一个代数整数。它是多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1}$ 的根。一般来说，如果整数${\displaystyle \scriptstyle d}$ 除以4余1，那么${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}}$ 也是代数整数，因为它是多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}}$ 的根。

• 给定素数p，p次单位根${\displaystyle \zeta _{p}}$ 也是一个代数整数，因为是首一多项式${\displaystyle \displaystyle x^{p}-1=0}$ 的根。实际上，p次分圆域${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ 的整数环就是${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ 。

• 两个代数整数的和是一个代数整数，他们的差及积也是。这时它们满足的首一多项式可以用结式表达；但他们的商就不一定是代数整数。
• 一个以代数整数为系数的首一多项式的根也是代数整数。换句话说，代数整数构成一个环，并且在任何代数扩张下是整闭的。
• 任何从整数出发，透过和、积与开方得到的数都是代数整数，但并非所有代数整数都可依此构造，例如，大多数的五次代数整数都无法透过这种方式构造。
• 代数整数是裴蜀整环。

• 整性
• 高斯整数
• 艾森斯坦整数
• 单位根
• 狄利克雷单位理论
• 基本单位 (数论)

• Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977