基本单位 (数论)

实二次域${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ （d无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是：

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$ 

其中 (a, b) 是下面佩尔方程的最小正整数解^[2]

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$ 

上面的佩尔方程可通过${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$ 的连分数展开获得。这个不定方程现在得出一些结论：

• ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$ 连分数展开是奇周期的。
• 有概率表明Δ如果能整除一个3mod4的同余的素数，那么K有范为-1的单位概率较大。如d=34就为反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出个概率模型，专找反例。特别的，当 Δ < X ，对如果能整除一个3mod4的同余的素数的D(X)，其共轭D⁻(X)有范为-1的单位概率为^[3]：

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(x)}{D(x)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$ 。

也就是这种特例下有42%反例，至2012年3月，最近对这个猜想的结果^[4] 为可有33％~59％的反例。

如果“K”是只有一个实嵌入的复三次域，且在嵌入中基本单位ε赋值满足|ε| > 1 ，判别式赋值|Δ| ≥ 33，^[5] 则：

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$ 

例：${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ 基本单位的${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}}}$  的三次方≈ 56.9, ，判别式= −108 则：

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25.}$