最大公约数

最大公因数(英语:highest common factorhcf)也称最大公约数(英语:greatest common divisorgcd)是数学词汇,指能够整除多个整数的最大正整数。而多个整数不能都为零。例如8和12的最大公因数为4。

整数序列的最大公因数可以记为

求两个整数最大公约数主要的方法:

  • 列举法:分别列出两整数的所有约数,并找出最大的公约数。
  • 素因数分解:分别列出两数的素因数分解式,并计算共同项的乘积
  • 短除法:两数除以其共同素因数,直到两数互素时,所有除数的乘积即为最大公约数。


两个整数的最大公约数和最小公倍数lcm)的关系为:

两个整数的最大公约数可用于计算两数的最小公倍数,或分数化简成最简分数

两个整数的最大公约数和最小公倍数中存在分配律

直角坐标中,两顶点的线段会通过格子点

概述

例子

54和24的最大公因数是多少?

数字54可以表示为几组不同正整数的乘积:

 

故54的正约数为 

同样地,24可以表示为:

 

故24的正约数为 

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数

 

其中的最大数6即为54和24的最大公约数,记为:

 

互素数

如果两数的最大公因数为1,那么这两个数互素。例如,9和28就是互素数。

几何角度的说明

 
24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖,即12为24和60的最大公因数。推而广之,如果cab的最大公因数,那么ab的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域,这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格:1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此,12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域,可以按照12乘12的大小划分正方形网格,一边有两格( )、另一边有五格( )。

计算

素因数分解法

可以通过素因数分解来计算最大公因数。例如计算 ,可以先进行素因数分解   ,因为其中表达式 的“重合”,所以 。实践中,这种方法只在数字比较小时才可行,因为对较大数进行素因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子,计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行素因数分解:

 
 

它们之中的共同元素是两个2和一个3:

 [1]
最小公倍数 
最大公因数 

辗转相除法

相比素因数分解法,辗转相除法的效率更高。

计算 时,先将48除以18得到2、余数12,然后再将18除以12得到商1、余数6,再将12除以6得到商2、余数0,即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0,为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的:

 
 

其中

 

如果参数都大于0,那么该算法可以写成更简单的形式:

 ,
  如果 a > b
  如果 b > a
使用辗转相除法计算62和36的最大公因数2的演示动画。

性质

  • 任意ab的公因数都是 约数
  •  函数满足交换律 
  •  函数满足结合律 

程式代码

以下使用辗转相除法实现。

C#

private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}

C++

运行时计算实现:

template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现:

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C

int GCD(int a, int b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

Java

private int GCD(int a, int b) {
    if (b==0) return a; 
	return GCD(b, a % b);
}

JavaScript

const GCD = (a, b) => b ? GCD(b, a % b) : a;

Python

GCD = lambda a, b: (a if b == 0 else GCD(b, a % b))

# or

def GCD(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return GCD(b, a % b)

政治用法

最大公约数又指一社会中不同阵营勉强所达之共同利益。

参考文献

外部链接

参见