最大公约数

例子

54和24的最大公因数是多少？

数字54可以表示为几组不同正整数的乘积：

${\displaystyle 54=1\times 54=2\times 27=3\times 18=6\times 9}$ 

故54的正约数为${\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}$ 。

同样地，24可以表示为：

${\displaystyle 24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6}$ 

故24的正约数为${\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}$ 。

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：

${\displaystyle 1,2,3,6}$ 

其中的最大数6即为54和24的最大公约数，记为：

${\displaystyle \gcd(54,24)=6}$ 

互素数

如果两数的最大公因数为1，那么这两个数互素。例如，9和28就是互素数。

几何角度的说明

假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（${\displaystyle {\frac {24}{12}}=2}$ ）、另一边有五格（${\displaystyle {\frac {60}{12}}=5}$ ）。

素因数分解法

可以通过素因数分解来计算最大公因数。例如计算${\displaystyle \gcd(18,84)}$ ，可以先进行素因数分解 ${\displaystyle 18=2\times 3^{2}}$  和 ${\displaystyle 84=2^{2}\times 3\times 7}$ ，因为其中表达式${\displaystyle 2\times 3}$ 的“重合”，所以${\displaystyle \gcd(18,84)=6}$ 。实践中，这种方法只在数字比较小时才可行，因为对较大数进行素因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子，计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行素因数分解：

${\displaystyle 48=2\times 2\times 2\times 2\times 3}$ 

${\displaystyle 180=2\times 2\times 3\times 3\times 5}$ 

它们之中的共同元素是两个2和一个3：

 ^[1]

最小公倍数${\displaystyle =2\times 2\times (2\times 2\times 3)\times 3\times 5=720}$ 

最大公因数${\displaystyle =2\times 2\times 3=12}$ 

辗转相除法

相比素因数分解法，辗转相除法的效率更高。

计算${\displaystyle \gcd(18,48)}$ 时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0，为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的：

${\displaystyle \gcd(a,0)=a}$ 

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)}$ 

其中

${\displaystyle a\,\mathrm {mod} \,b=a-b\left\lfloor {a \over b}\right\rfloor }$ 

如果参数都大于0，那么该算法可以写成更简单的形式：

${\displaystyle \gcd(a,a)=a}$ ,

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\quad }$  如果 a > b

${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\quad }$  如果 b > a

• 任意a和b的公因数都是${\displaystyle \gcd(a,b)}$ 的约数。
• ${\displaystyle \gcd }$ 函数满足交换律：${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a)}$ 。
• ${\displaystyle \gcd }$ 函数满足结合律：${\displaystyle \gcd(a,\gcd(b,c))=\gcd(\gcd(a,b),c)}$ 

以下使用辗转相除法实现。

C#

private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}

C++

运行时计算实现：

template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现：

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C

int GCD(int a, int b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

Java

private int GCD(int a, int b) {
    if (b==0) return a; 
	return GCD(b, a % b);
}

JavaScript

const GCD = (a, b) => b ? GCD(b, a % b) : a;

Python

GCD = lambda a, b: (a if b == 0 else GCD(b, a % b))

# or

def GCD(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return GCD(b, a % b)

最大公约数又指一社会中不同阵营勉强所达之共同利益。

• 图解最大公约数求法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 包含GCD动态规划 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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