约数

设 ${\displaystyle a,b}$  满足 ${\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N} }$ . 若存在 ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$  使得 ${\displaystyle b=aq}$ , 那么就说 ${\displaystyle b}$  是 ${\displaystyle a}$  的倍数， ${\displaystyle a}$  是 ${\displaystyle b}$  的约数。这种关系记作 ${\displaystyle a|b}$ ,读作“${\displaystyle a}$  整除 ${\displaystyle b}$ ”.

例如 ${\displaystyle 24=3\times 8,\;1150=25\times 46}$ . 所以 ${\displaystyle 3|24,\;25|1150}$ ，同时 ${\displaystyle 3}$  是 ${\displaystyle 24}$  的因数；${\displaystyle 25}$  是 ${\displaystyle 1150}$  的因数。

除了自己本身外的约数称为真约数（proper divisor）^[1][2]

• 若 ${\displaystyle a|b,\;b|c}$  那么 ${\displaystyle a|c}$ .

• 若 ${\displaystyle a|b,\;a|c}$  且 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$ , 有 ${\displaystyle a|(bx+cy)}$ .

• 若 ${\displaystyle a|b}$ , 设 ${\displaystyle t\not =0}$ , 那么 ${\displaystyle (ta)|(tb)}$ .

• 若 ${\displaystyle b=qd+c}$ , 那么 ${\displaystyle d|b}$  的充要条件是 ${\displaystyle d|c}$ 

• 若 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$  满足 ${\displaystyle ax+by=1,\;a|n.\;b|n}$  那么 ${\displaystyle ab|n}$ .

这里对最后一条性质进行证明:

${\displaystyle \because a|n,\;b|n\quad \therefore ab|bn,\;ab|an\quad \therefore ab|(anx+bny)}$ 

${\displaystyle \because ax+by=1\quad \therefore ab|n}$ 

证毕。

整数的唯一分解定理

任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为素因数分解

如果 ${\displaystyle A\in \mathbb {N} ^{+}}$ , 那么

${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}}$ , 其中 ${\displaystyle p_{i}}$  是一个素数.

这种表示方法是唯一的。

因数个数

自然数 ${\displaystyle N}$  的因数个数以 ${\displaystyle d(n)}$  表示。

若 ${\displaystyle N}$  唯一分解为 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$ , 则 ${\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}$ .

例如 ${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$ ，则其正因数个数 ${\displaystyle d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24}$ 。

因数和

自然数N的正因数和，以因数函数 ${\displaystyle \sigma (N)}$  表示。由素因数分解而得。

若 ${\displaystyle N}$  唯一分解为 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$ , 则 ${\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}$ .

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}$ 

例如${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$ ，则其正因数之和

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}$ 。

• 所有n的正约数都是n的素因数的积的一些幂。这是算术基本定理的结果。

• 1是所有整数的正约数，-1是所有整数的负约数，因为${\displaystyle x=1x=-1\times (-x)}$ 

由上式同样可证明，一个整数及其相反数必然为自身的约数，叫做明显约数。

• n的正约数数目是积性函数d(n)，正约数之和则是另一个积性函数σ(n)。详见除数函数

• 素数${\displaystyle p}$ 只有2个正约数：1, ${\displaystyle p}$ 。${\displaystyle p}$  的平方数只有三个正约数：1, ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle p^{2}}$ 。

• 约数判别法可参照整除规则。
• 素数
• 同余
• 素因数
• 公倍数、最小公倍数
• 公约数、最大公约数

1. ^ 完全數(1):因數、因數函數、完全數 (PDF). mathsgreat.com. 
2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Proper Divisor. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.