短除法

短除法是算术中除法的算法，将除法转换成一连串的运算。短除法是由长除法简化而来，当中会用到心算，因此除数较小的除法比较适用短除法。对大部分的人而言，若除以12或12以下的数，可以用记忆中乘法表的内容，用心算来进行短除法。也有些人可以处理除数更大的短除法。

在短除法中，要将一个数（称为被除数）除以除数，所得的结果称为商数。利用短除法，可以求解被除数很大，除数很小的除法，将其转换为一连串较简单的运算^[1]。短除法也常用在因式分解，或是最大公因数的计算。

计算方式

短除法不使用斜线（/）或是除号（÷）等符号。以下是500除以4的短除法，商是125。

{\begin{array}{r}125\\4{\overline {)500}}\\\end{array}}

以下是另一种表示方式，将横线及商放在被除数的下方，这种表示方式和长除法（商放在被除数的上方）的作法不同。

{\begin{array}{r}4{\underline {)500}}\\125\\\end{array}}

列出被除数以及除数
$4{\overline {)950}}\$
若要用一个步骤计算950除以4，需要心算到238 × 4。在短除法中，除法分为几个较小的步骤。先从被除数的左边开始计算，目前的除数是4，因此从最左边选择适当大小，介于1×4到10×4-1的一位至二位数字作为暂时被除数，在此例中，暂时被除数是9。
将暂时被除数（9）除以除数（4），所得的整数部分（2）是商的最高位数字，此次计算的余数为1，将1写在暂时被除数（9）的右上方。
${\begin{matrix}2\\4{\overline {)9^{1}50}}\end{matrix}}$
继续步骤2，将刚刚写的小数字1配合下一位被除数，组成下一个暂时被除数（15），除以除数（4）后，以上述的方式记录结果，整数数字为商的下一位数字，再将余数写在暂时被除数的右上方（此例中，15除以4，结果是3，余数是3）。
${\begin{matrix}\,\,2\ 3\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0}}\\\end{matrix}}$
再继续步骤2，直到被除数的所有数字都处理完之止。此例中，会计算30除以4，结果是7，余数是2。因此横线上方的数字（237）为商，最后的小数字2是950除以4的余数2。
${\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0^{2}}}\\\end{matrix}}$
此例中的商是237，余数是2。若要计算有小数的商，可以在被除数后面加上小数点以及足够的0，就可以再继续计算，再计算一位数的结果如下：
${\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7.\ 5\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\\end{matrix}}$

若用商在下方的写法，最后的结果如下：

{\begin{array}{r}4{\underline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\2^{\color {White}1}3^{\color {White}3}7.^{\color {White}2}5\\\end{array}}

因数分解

人工因数分解的例子

常常需要将数字分解为质因数的乘积（因数分解）。作法是先找到数字的质因数，再将数字除以其质因数，一直到所得的数字为另一个质数为止。

{\begin{array}{lcr}2{\underline {)950}}\\5{\underline {)475}}\\5{\underline {)19}}\\\end{array}}

因此 950 = 2 x 5² x 19

模除法

有时需要的不是所得的商，只需要知道余数，此情形下短除法的变体可以省略其商，只要记录其余数即可。这可以用来进行模除或是判断是否整除。

例如以下是计算16762109除以7的余数的过程：

{\begin{matrix}7)16^{2}7^{6}6^{3}2^{4}1^{6}0^{4}9^{0}\end{matrix}}

其余数为0，因此16762109可以被7整除。

参考资料

^ G.P Quackenbos, LL.D. Chapter VII: Division. A Practical Arithmetic. D. Appleton & Company. 1874.

外部链接

Alternative Division Algorithms: Double Division （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Partial Quotients & Column Division （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Partial Quotients Movie
Lesson in Short Division: TheMathPage.com

[1] G.P Quackenbos, LL.D. Chapter VII: Division. A Practical Arithmetic. D. Appleton & Company. 1874.

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短除法

目录

计算方式

因数分解

模除法

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参考资料

外部链接