超复数

19世纪，实数系和复数系之外的若干数系，如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系，成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念，吸引学者研究和分类。

分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉^[1]，并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是，二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱－迪克森构造利用对合，从实数系开始，生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制：赫维兹定理断言有限维的实复合代数（英语：composition algebra）仅得实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、复数系${\displaystyle \mathbb {C} }$ 、四元数系${\displaystyle \mathbb {H} }$ 、八元数系${\displaystyle \mathbb {O} }$ ，而弗罗贝尼乌斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）断言，实结合除代数（英语：associative division algebra）仅得${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、${\displaystyle \mathbb {C} }$ 、${\displaystyle \mathbb {H} }$ 。1958年，弗兰克·亚当斯（英语：Frank Adams）考虑H-空间（有具单位元的连续乘法的拓扑空间）的霍普夫不变量，发表推广的结果，该结果仍将维数限制在1、2、4、8。^[2]

矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先，矩阵提供新的超复数系，例如${\displaystyle 2\times 2}$ 实矩阵组成的代数（同构于分裂四元数）。很快，矩阵方法解明其他超复数系，因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年，约瑟夫·韦德伯恩证明，满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。^{[3][注 1]}此后，结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语，例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而，也有不可结合的数系，例如八元数系和双曲四元数系（英语：Hyperbolic quaternion），也算是另一类的超复数。

汤马士·霍金斯（Thomas Hawkins）^[4]解释，超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如，1929年，埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉^[5]。1973年，以赛亚·坎托尔（英语：Isaiah Kantor）和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版关于超复数的德文教科书^[6]，该书于1989年翻译成英文。^[7]

凯伦·帕歇尔（英语：Karen Parshall）详细介绍全盛期的超复数研究^[8]，包括数学家特奥多尔·莫林（英语：Theodor Molien）^[9]和爱德华·斯图迪（英语：Eduard Study）^[10]的贡献。关于超复数至近世代数的过渡，巴尔特·伦德特·范德瓦尔登（英语：Bartel van der Waerden）在《代数史》^[11]有三十页专论超复数。

Kantor & Solodovnikov (1989)定义超复数为实域上某个有限维代数的元素，而该代数要有单位，但无需可结合或可交换。^[12] 该些元素可以写成一组基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$ 的线性组合，其中系数为实数${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ ，而基的大小${\displaystyle n+1}$ 称为该代数的维数。若可行，一般将基正规化，即选取${\displaystyle i_{k}}$ 使${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$ 。下节先考虑二维超复数（即${\displaystyle n=1}$ ）。

关于二维实代数有以下定理：^{[6]:14,15[13][14]}在同构意义下，实域上的二维单位代数恰有3个：复数系、双曲复数系、二元数系。于是，实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。

下段简述定理的证明。

因为给定的代数是二维，可选一组基${\displaystyle \{1,u\}}$ 。因为代数对乘法封闭，${\displaystyle u}$ 的平方仍是代数的元素，故可写成线性组合：

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}$ 

其中${\displaystyle a_{0},a_{1}}$ 为实系数。

运用常见的配方法，两边减走${\displaystyle a_{1}u}$ 并加上${\displaystyle a_{1}^{2}/4}$ ，得：

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}$ 

所以${\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ，其中${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}$ 是实数。 取决于此实数值，分别有三种情况：

1. 若${\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}$ ，则上式变成${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}$ 。于是，${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 可视为二元数的基${\displaystyle \{1,\varepsilon \}}$ 中的幂零元${\displaystyle \varepsilon }$ 。
2. 若${\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}$ ，则有${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}$ 。双曲复数的标准基${\displaystyle \{1,j\}}$ 满足${\displaystyle j^{2}=+1}$ ，故若除${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 以正实数${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$ （其平方与${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 平方相等），得到的结果即可视为${\displaystyle j}$ 。
3. 若${\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}$ ，则有${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}$ 。平常复数的标准基${\displaystyle \{1,i\}}$ 满足${\displaystyle i^{2}=-1}$ ，故若除${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 以正实数${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$ （其平方与${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 平方互为相反数），得到的结果即可视为${\displaystyle i}$ 。

从而定理成立。

复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根${\displaystyle j}$ （如双曲复数），则也有幂等元${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$ 和零因子（因为${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$ ），故此种代数必不为除代数（粤语：除代數）。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。

《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为“广义复数”（generalized complex numbers）。^[15]四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。^[16]

克利福德代数

克利福德代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称标量积${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$ ，正交化该二次型，以得到基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$ ，满足：

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}$ 

由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到${\displaystyle 2^{k}}$ 个克利福德数（英语：Multivector），即${\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}$ ，皆为克利福德代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$ 不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即${\displaystyle e_{i}}$ ）有奇数对抑或偶数对。所以，${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$ ，但${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$ 。

若不允许${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$ （即二次型非退化（英语：Degenerate bilinear form）），则余下的克利福德代数可记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ ，表示其为${\displaystyle p}$ 个满足${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$ 的简单基元和${\displaystyle q}$ 个满足${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$ 的简单基元生成的代数，而括号内的${\displaystyle \mathbb {R} }$ 指明此为实域上的克利福德代数，即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数（英语：Geometric algebra），组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。

此族代数包括：复数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$ 、双曲复数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}$ ，四元数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$ 、分裂复四元数系（英语：split-biquaternion）${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$ 、分裂四元数系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}$ （二维空间生成的自然代数）、${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}$ （三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、时空代数（英语：Spacetime algebra）${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ 。

代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ 可以视为代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$ 的偶子代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$ ，从而可用作描述${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$ 中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。

虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克利福德代数皆可结合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯（英语：Ian R. Porteous）有关克利福德代数的书中，论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况：^[17]

设${\displaystyle A}$ 为实结合代数，且具有单位元${\displaystyle 1}$ 。则

• ${\displaystyle 1}$ 生成${\displaystyle \mathbb {R} }$ （实子代数），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$ 是任何满足${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$ 的元素，则其生成的二维子代数与${\displaystyle \mathbb {C} }$ 同构（复子代数），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$ 是任何满足${\displaystyle e_{0}^{2}=+1}$ 的元素，则其生成的二维子代数与${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 同构（此处${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$ ，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$ 反交换，则${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$ 生成的四维子代数同构于${\displaystyle \mathbb {H} }$ （四元数代数），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$ ，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$ 反交换，则${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$ 生成的四维子代数同构于${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}$ （元素为${\displaystyle 2\times 2}$ 实矩阵，或分裂四元数），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$ ，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$ 两两反交换，则其生成的八维子代数同构于${\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }$ （分裂复四元数代数（英语：split-biquaternion）），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$ ，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$ 两两反交换，则其生成的八维子代数同构于${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$ （元素为${\displaystyle 2\times 2}$ 复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。

超出该些古典代数的延伸，见克利福德代数的分类（英语：Classification of Clifford algebras）。

凯莱－迪克森构造

撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ 皆含有平方为${\displaystyle +1}$ 的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为${\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}$ 的数系，该些数系的基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}$ 满足：所有非实的基元两两反交换，且${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$ 。在8维或以上时（即${\displaystyle n\geq 3}$ ），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即${\displaystyle n\geq 4}$ ），该些代数有零因子。

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。

凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到复合代数（英语：composition algebra）中的“分裂代数”，而非除代数：

分裂复数系：有基${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$ ，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$ ，

分裂四元数系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$ ，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$ ，

分裂八元数系（英语：split-octonion）：有基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}$ ，满足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$ ，${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$ 。

与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。

张量积

两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。

作为例子，取2维实代数${\displaystyle \mathbb {C} }$ （复数系）、4维实代数${\displaystyle \mathbb {H} }$ （四元数系）、8维实代数${\displaystyle \mathbb {O} }$ （八元数系），分别与${\displaystyle \mathbb {C} }$ 作张量积，依次得4维的双复数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ 、8维的复四元数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ 、16维的复八元数系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$ 。

其他例子

• 多重复数：其组成复域上的${\displaystyle 2^{n-1}}$ 维向量空间。
• 复合代数（英语：composition algebra）：赋有二次型的代数，其中二次型与乘法可互换次序。

• 十六元数
• 托马斯·柯克曼（英语：Thomas Kirkman）
• 格奥尔格·舍费尔（英语：Georg Scheffers）
• 理查德·布饶尔
• 超复分析（英语：Hypercomplex analysis）