交比

各著作对交比有不同定义，不过各定义只相异于某些坐标的置换。一般来说，根据点z_i所给出的各种次序，交比可以取六个不同的值。因为四个坐标有24种排列，有些置换保持交比不变。实际上，任意两对坐标对换保持交比：

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=(z_{2},z_{1};z_{4},z_{3})=(z_{3},z_{4};z_{1},z_{2})=(z_{4},z_{3};z_{2},z_{1})\,}$ 。

运用这些对称，交比就有6个可能值，由点的次序决定：

从群论来说，对称群S₄以置换坐标来作用于交比上，这群作用的核为克莱因四元群（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其商群，同构于S₃。

对某些λ值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些λ值对应于S₃对黎曼球面的作用的不动点（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。

第一个这样的集合是{0, 1, ∞}。但若四点{z_i}相异，交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值：

${\displaystyle (z,z_{2};z,z_{4})=(z_{1},z;z_{3},z)=0\,}$ 

${\displaystyle (z,z;z_{3},z_{4})=(z_{1},z_{2};z,z)=1\,}$ 

${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z)=(z_{1},z;z,z_{4})=\infty \,}$ 

第二个这样的集点是{−1, 1/2, 2}。这情况古典上称为“谐和交比”。最对称的交比是当${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$ 。这时交比只可能是这两个值。

交比为黎曼球面的射影变换所保持，也称为莫比乌斯变换：

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad ad-bc\neq 0}$ 。

所谓它们保持交比就是指

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})\,}$ 。

作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质：任意3点集要映射到另外的3点集，都存在唯一的麦比乌斯变换。（这个群作用有3重传递性。）所以给出黎曼球面上4点，有唯一变换把其中3点映射到点0，1，和∞。第四点映射到的点，与原来四点的交比有关。

要看到这点，注意到

${\displaystyle (z,1;0,\infty )=\lim _{w\to \infty }{\frac {z(1-w)}{z-w}}=z\,}$ 。

所以给出四点 ${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})}$ 可以找到唯一变换f作映射

${\displaystyle z_{2}\to 1,\;z_{3}\to 0,\;z_{4}\to \infty }$ 。

点${\displaystyle z_{1}}$ 就被映射到${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=f(z_{1})}$ 。换个角度看，若把交比看为${\displaystyle z_{1}}$ 的函数，交比是唯一的变换把点${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$ 映射到${\displaystyle (1,0,\infty )}$ 。

若四点走近，这理论便有了微分学的一面，从而引领至施瓦茨导数理论，还有更一般的射影联络理论。这些理论被应用在共形场论。