分数单位

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
上超实数

其他

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无穷大 $\infty$

分数单位，或称单位分数，是分子是1，分母是正整数并写成分数的有理数。因此分数单位都是某一个正整数的倒数，1/n。例如1/2、1/3、1/4、1/5等都是分数单位。

基本代数

分数单位的积必为分数单位。

{\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{nm}}

但加法、减法及除法的结果不一定为分数单位

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}={\frac {n+m}{nm}}

{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}={\frac {n-m}{nm}}

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

它们的和

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}$

就是调和级数，随着n增大，它会逐渐接近ln(n)+γ。

所有分数单位之和趋向无限。

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\to \infty$

所有有理数都可以写成分数单位之和（参阅古埃及分数）。