调和级数

早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里（意大利语：Pietro Mengoli）、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。^[1]

对刚接触这个级数的人而言，调和级数是违反直觉的——尽管随着${\displaystyle n}$ 不断增大，${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 无限接近0，但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。^[2]假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：${\displaystyle n}$ 分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

${\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$ 

由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即${\displaystyle n}$ 趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为${\displaystyle e^{100}}$ ，超过10⁴⁰（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。

另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌与最底层骨牌水平距离无穷远。^[2][3]一个较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为${\displaystyle l_{0}}$ 。再设一叠${\displaystyle n}$ 个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为${\displaystyle d_{n}}$ ；在只有1个骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即${\displaystyle d_{1}\,=\,{\frac {l_{0}}{2}}}$ 。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为${\displaystyle l_{n}}$ ，则有：${\displaystyle d_{n}+l_{n}=l_{0}}$ 。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

${\displaystyle d_{n+1}\,=\,{\frac {(d_{n}+l_{n})n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot (n+1)-{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,l_{0}-{\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}}$ 

则${\displaystyle l_{n+1}=l_{0}-d_{n+1}={\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}}$ ，即${\displaystyle l_{n}={\frac {l_{0}}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}}$ 。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ，第二、三层间水平距离是骨牌长度的${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ……依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：

${\displaystyle l_{\mathrm {total} }={\frac {l_{0}}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ 

因为调和级数发散，所以当骨牌数目${\displaystyle n}$ 趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

比较审敛法

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right.}$ 

${\displaystyle \geq \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\,\!}$ 

${\displaystyle =1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right.\,\!}$ 

${\displaystyle =1+\ {\frac {1}{2}}\ +\qquad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots \,\!\;=\;\;\infty .}$ 

因此该级数发散。

积分判别法 (The integral test)

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 个单位（换句话说，每个长方形的面积都是${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和:${\displaystyle =1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots .}$  而曲线${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ 以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积:${\displaystyle =\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\infty .}$  由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;>\;\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\ln(k+1).}$ 

这个方法的拓展即积分判别法。

反证法

假设调和级数收敛 , 则：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{n}=0}$ 

但与 ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}>{\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}}$  矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前10⁴³项的和还不足100。^[4]这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;=\;\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}}$ 

其中${\displaystyle \gamma }$ 是欧拉-马歇罗尼常数，而${\displaystyle \epsilon _{k}}$ 约等于${\displaystyle {\frac {1}{2k}}}$ ，并且随着${\displaystyle k}$ 趋于正无穷而趋于${\displaystyle 0}$ 。这个结果由欧拉给出。

当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。

调和级数的第${\displaystyle n}$ 个部分和为：

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},\!}$ 

也叫作第n个调和数。

第n个调和数与${\displaystyle n}$ 的自然对数的差值（即${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n}$ ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了${\displaystyle n=1}$ 时以外，没有任何一个调和数是整数。^[5]

交错调和级数

如下级数：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$ 

被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这个级数的和等于2的自然对数：

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$ 

这个公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的一个特例。

从反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$ 

这个级数也被称作π的莱布尼茨公式。

广义调和级数

广义调和级数是指有如下形式的级数：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}.\!}$ 

其中${\displaystyle a\neq 0}$ 且${\displaystyle b}$ 为实数。

由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。 ^[6]

${\displaystyle p}$ -级数

调和级数广义化的其中一个结果是${\displaystyle p}$ -级数，定义如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},\!}$ 

其中P是任意正实数。当${\displaystyle p=1}$ ，${\displaystyle p}$ -级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知${\displaystyle p}$ -级数在${\displaystyle p>1}$ 时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在${\displaystyle p\leq 1}$ 时发散。 当${\displaystyle p>1}$ 时，${\displaystyle p}$ -级数的和即${\displaystyle \zeta (p)}$ ，也就是黎曼ζ函数在${\displaystyle p}$ 的值。

${\displaystyle \varphi }$ -级数

对一个凸实值函数${\displaystyle \varphi }$ ，若满足以下条件：

${\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi ({\frac {u}{2}})}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}}$ 

则级数${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varphi (n^{-1})}$ 收敛。

随机调和级数

随机调和级数定义如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},\!}$ 

其中${\displaystyle s_{n}}$ 是独立的、恒等分布的随机变量，取值范围为+1和-1，取这两个值的概率都是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，^[7][8]并发现这个级数收敛的概率为1，并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地，这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…，与${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ 只差了不到10⁻⁴²。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ 。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分${\displaystyle C_{2}}$ 除以${\displaystyle \pi }$ 而给出的。^[9]

贫化调和级数

贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的，其和小于80。^[10]实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法^{[注 2]}对它也不适用。但是，调和级数的拉马努金求和存在，且为欧拉-马斯刻若尼常数。

• 无穷级数
• 调和平均数
• 黎曼ζ函数

• "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31–43. Many proofs of divergence of harmonic series.