在数学内,墨卡托级数(Mercator series)或者牛顿-墨卡托级数(Newton–Mercator series)是一个自然对数的泰勒级数:
使用大写sigma表示则为
当 −1 < x ≤ 1时,此级数收敛于自然对数(加了1)。
历史
这级数被尼古拉斯·墨卡托,牛顿和Gregory Saint-Vincent分别独立发现。首先被墨卡托出版于其1668年时的著作Logarithmo-technica。
推导
这级数可以由泰勒公式导出,借由不断地计算第n次ln x在x = 1时的微分,一开始是
-
或者,我们可以从有限的等比数列开始(t ≠ −1)
-
这可以导出
-
然后得到
-
接着逐项积分,
-
若−1 < x ≤ 1,余项会在 时趋近于零。
这个表示法可以重复积分k次,得到
-
这里的
-
和
-
都是x的多项式。[1]
特例
令墨卡托级数里面的x = 1,则我们会得到交错调和级数
-
复数级数
下面的复数幂级数
-
是ln(1 + z)的泰勒级数,这里ln代表复对数(complex logarithm)的主要分支(principal branch)。这个级数收敛于一个开放的单位圆盘 |z| < 1 以及圆 |z| = 1 , z = -1除外 (根据阿贝尔判别法),而且这里的收敛对每个半径小于一的圆盘是一致的 。
参考资料
- ^ Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. Iterated primitives of logarithmic powers. 2009. arXiv:0911.1325 .