等比数列

如果一个等比数列的首项记作${\displaystyle a}$ ，公比记作${\displaystyle r}$ ，那么该等比数列第${\displaystyle n}$ 项${\displaystyle a_{n}}$ 的一般项为：

${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$ 

换句话说，任意一个等比数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 都可以写成

${\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}$ 

在一个等比数列中，给定任意两相连项${\displaystyle a_{n+1}}$ 和${\displaystyle a_{n}}$ （其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ），可知公比

${\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$ 

给定任意两项${\displaystyle a_{m}}$ 和${\displaystyle a_{n}}$ ，则有公比

${\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}}$ 

这里注意，若${\displaystyle m-n}$ 是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。

此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说，${\displaystyle a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}}$ 。

更一般地说，有：

${\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}}$ 

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}$ 

证毕。

从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均：

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}$ 

此结果从上面直接可得。

如果有整数${\displaystyle m,n,p,q}$ ，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$ ，那么则有：

${\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}}$ 

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}}$ 

由此可将上面的性质一般化成：

${\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}}$ 

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}}$ 

其中${\displaystyle k}$ 是一个小于${\displaystyle n}$ 的正整数。

给定一个等比数列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ，则有：

• ${\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}}$  是一个等比数列。
• ${\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}}$  是一个等比数列。
• ${\displaystyle \{\log _{b}(a_{n})\}}$  是一个等差数列。

从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成

${\displaystyle a_{n}=pq^{n}}$ 

形式的数列，都是一个等比数列，其中公比${\displaystyle r=q}$ ，首项${\displaystyle a=pq}$ 。

一个等比数列的首${\displaystyle n}$ 项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作${\displaystyle S_{n}}$ 。

举例来说，等比数列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$ 的和是${\displaystyle 1+2+4+8=15}$ 。

等比数列求和的公式如下：

${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ 

其中${\displaystyle a}$ 为首项，${\displaystyle n}$ 为项数，${\displaystyle r}$ 为公比，且${\displaystyle r\neq 1}$ 。

公式证明如下：

将等比数列和写作以下形式：

${\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}}$  ……(1)

将两边同乘以公比 r，有：

${\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}}$  ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

${\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}$ 

当${\displaystyle r\neq 1}$ 时，整理后得证。

当${\displaystyle r=1}$ 时，可以发现：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}$ 

综上所述，等比数列的求和公式为：

${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}$ 

当${\displaystyle -1<r<1}$ 时，注意到

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}$ 

因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ 

由此可见，当${\displaystyle -1<r<1}$ 时，几何级数会收敛到一个固定值。

一个等比数列的首 n 项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作 P_n。

举例来说，等比数列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$ 的积是${\displaystyle 1\times 2\times 4\times 8=64}$ 。

等比数列求积的公式如下：

${\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}$ 

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}$ 

第二步，公比r的指数中，0来自于数列的第一项。最后一步，使用了等差数列的求和公式，通项为${\displaystyle n-1}$ 。

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• 国际象棋盘与麦粒问题

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.