一致收敛

一致收敛,或称均匀收敛,(英语:Uniform convergence),是数学中关于函数序列收敛的一种定义。其概念大致可想成:若函数序列 fn 一致收敛至函数 f,代表对所有定义域中的点 xfn(x) 收敛至 f(x) 会有(大致)相同的收敛速度[注 1]。由于它对收敛要求较逐点收敛更强,故能保持一些重要的分析性质,例如连续性、黎曼可积性。

定义

当函数序列中的函数的到达域是    时,此时均匀收敛的定义为:

  是定义在   上,到达域为   的一组函数序列,若序列   均匀收敛至函数   在集合   上,即表示对所有  ,存在  ,使得当所有    时有

 

可将这定义推广到一般的度量空间:

  为一集合 度量空间。若对一组函数序列  ,存在函数   满足 对所有  ,存在  ,使得当所有    时有

 

则称序列   一致收敛到  


注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中  的选取仅与   相关,而在逐点收敛中   还多了与点   相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子

 
在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列

例子一:对任何 上的连续函数 ,考虑多项式序列

 

可证明 区间 上一致收敛到函数 。其中的 称为伯恩斯坦多项式

透过坐标的平移与缩放,可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数,这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

 
逐点收敛而非一致收敛的例子

例子二:考虑区间 上的函数序列 ,它逐点收敛到函数

 

然而这并非一致收敛。直观地想像:当 愈靠近 ,使 接近 所需的 便愈大。可以依此想法循定义直接证明,也可以利用下节关于连续的性质证明,因为在此例中 皆连续,而 不连续。

性质

  为一组函数序列,到达域为   ,此时有下述性质:

  • 连续性:若函数序列   均匀收敛至函数  ,则有:
  1. 假设函数序列的定义域是闭包(closure)集合  ,且    的中的一点。若每个   都在  连续,则   也在   点连续。
  2. 若对集合   的每个紧致子集  ,每个   都在  连续,则    上连续。
  • 积分的交换:令   为定义在紧致区间   的函数序列,且序列   均匀收敛至函数  。若每个   都是黎曼可积,则   也是黎曼可积,而且
 [注 2]
  • 与微分的交换:可微函数序列   均匀收敛至函数  ,并不能保证   是可微的,还需要对该函数序列的微分, ,做些限制,请参看以下定理:
  为定义在闭区间   的可微函数序列,且存在一点   使得极限   存在(且有限)。若序列的微分   在区间   一致收敛到函数  ,则序列   均匀收敛至函数    亦是可微函数,且有:
 

注释

  1. ^ 所以才会用“均匀”或“一致”来形容这种模式的收敛
  2. ^ 勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

文献

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X