逐点收敛

设 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  是一组有相同定义域的函数序列。序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  逐点收敛当且仅当存在函数 ${\displaystyle f}$ ，使得在定义域中的每点 ${\displaystyle x}$ ，都有：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ 

这时我们就说序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  逐点收敛到 ${\displaystyle f}$ ，或说函数 ${\displaystyle f}$  是序列 ${\displaystyle f_{n}}$  的逐点极限函数。在英文中也写作：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{ pointwise}},}$ 

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛（英语：uniform convergence）。一致收敛的定义如下： 假设序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  中的函数跟函数 ${\displaystyle f}$  都有相同的定义域 ${\displaystyle I}$ 。定义函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  一致收敛到 ${\displaystyle f}$ ，若数列 ${\displaystyle a_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\,\}}$  趋近于零，用符号表示就是：${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ，换句话讲也就是：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\;\}=0}$ 

两相比较，一致收敛对于函数趋近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]}$ ，让 ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ ，则 ${\displaystyle (f_{n})}$  逐点收敛到（不连续）函数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}}$ ,

但并不一致收敛到该函数，因为对每个 ${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle \sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}}$  皆为 1，所以

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}=1\neq 0}$ 。

这说明了序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  并不一致收敛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 ${\displaystyle (f_{n}(x)=x^{n})}$  都在闭区间 ${\displaystyle [0,1]}$  上连续，但是 ${\displaystyle (f_{n})}$  逐点收敛到的函数 ${\displaystyle f}$  并不是连续函数。

逐点收敛不要求序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$  的对应域仅是拓朴空间，那可能一致收敛的定义并无意义，所以一致收敛的对应域一般在度量空间。因为一致收敛定义中表达趋近的部分我们（部分的）利用了距离的概念（绝对值就是距离的概念），在这定义中无法被其他概念取代，相对来说逐点收敛中表达趋近的部分虽然也用了距离概念，但可以用拓朴空间中的开集合来取代，。

逐点收敛也可以理解为由半范数${\displaystyle ||f||_{x}=|f(x)|\,}$ 建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果${\displaystyle f}$ 的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。

在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

• 一致收敛
• 拓扑空间