可测函数

设${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 与${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ 为可测空间，也就是指Σ是集合X上的σ代数，Τ是Y上的σ代数，若一个函数${\displaystyle f:X\to Y}$ 被称为可测函数，则对所有的${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ ，${\displaystyle E}$ 在${\displaystyle f}$ 的原像属于${\displaystyle \Sigma }$ ，也就是:

${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma ,\;\;\forall E\in \mathrm {T} .}$ 

如果 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是可测函数, 我们会记作:

${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$ 

去强调 ${\displaystyle \sigma }$ -代数 ${\displaystyle \Sigma }$  和 ${\displaystyle \mathrm {T} }$ 的依赖性。

如果${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 和${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ 是波莱尔空间，则可测函数${\displaystyle f}$ 又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 如果函数f是${\displaystyle \Sigma _{1}/\Sigma _{2}}$ 可测的，函数g是${\displaystyle \Sigma _{2}/\mathrm {T} }$ 可测的，那么复合函数${\displaystyle g\circ f}$ 是${\displaystyle \Sigma _{1}/T}$ 可测的。^[1]
• 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果${\displaystyle (f_{n})}$ 是一个可测函数序列，在[−∞, +∞]中取值，那么${\displaystyle \limsup _{n}f_{n}}$ 也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 只有可测函数可以进行勒贝格积分。
• 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}}$ 

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不是所有的函数都是可测的。例如，如果${\displaystyle A}$ 是实数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的一个不可测子集，那么它的指示函数${\displaystyle 1_A(x)}${\displaystyle 1_{A}(x)}  是不可测的。

• 可测函数的向量空间：${\displaystyle L^{p}}$ 空间
• 保测动态系统