不可测集

为任何集合定义长度的作法可能出问题的第一个迹象是维塔利定理。^[1]

人们会期望说两个不相交集合的测度，与这两个集合的测度的和相等，而有着这样性质的测度具有“有限可加性”。尽管就多数对面积的直观想法而言，有限可加的测度已足够，且这与黎曼积分相等，但这样的测度在几率论上依旧是不足的，而这是因为当代对一系列事件或随机值的常规处理要求可数可加性。

就这方面而言，平面与线段类似，在平面上有作为勒贝格测度延伸、具有有限可加性且在等距同构意义下保持不变的测度；然而在更高维度下，状况变得复杂，豪斯多夫悖论与巴拿赫-塔斯基悖论指出，一个半径为1的三维球可分成五块并重组成两颗半径为1的三维球。

设${\displaystyle S}$ 是单位圆上所有点的集合，并考虑由包含所有有理旋转（也就是旋转角度为${\displaystyle \pi }$ 乘以有理数的旋转）的群${\displaystyle G}$ 对${\displaystyle S}$ 的群作用。在此${\displaystyle G}$ 是可数的（更具体地说，${\displaystyle G}$ 与${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ 同构）而${\displaystyle S}$ 是则是不可数的，因此${\displaystyle S}$ 可透过${\displaystyle G}$ 分成不可数多的轨道（而${\displaystyle s\in S}$ 的轨道是可数集${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$ ）。利用选择公理，我们可以从每个轨道中找到一个元素，并得以构造一个不可数集${\displaystyle X\subset S}$ ，且${\displaystyle X}$ 的所有有理数变换（也就是对某个有理数${\displaystyle q}$ 而言，有着${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$ 这样形式的变换复本）^[2]彼此两两不相交，也就是这些集合彼此不相交，也不与${\displaystyle X}$ 相交，而这样的变换所构成的集合是一个将圆分成可数多且彼此不相交集合的划分，且在有理变换下，这些集合彼此两两全等。这样的${\displaystyle X}$ 就旋转不变且可数可加的几率测度而言，是一个不可测集合，因为假若${\displaystyle X}$ 是零测集，那这个圆的测度就会是零；但若${\displaystyle X}$ 的测度大于零，那可数可加性就会使得这个圆的测度为无限大。

巴拿赫-塔斯基悖论指出，除非在以下数条中至少一条作出让步，不然在三维空间中无法定义体积：

1. 一些集合的体积在旋转后发生变化。
2. 两个不相交集合的体积，可以与这两个集合的体积的和不相等。
3. 一些集合是不可测的，而在讨论体积前必须先讨论一个集合是否可测。
4. ZFC公理（带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）需要修正。

标准的测度论在第三项上做出让步，数学家定义可测集的集族，而这样的集合非常丰富，几乎所有在多数数学分支中会被特别定义的集合都属此类，而通常要证明一个集合可测是相当容易的。这么做的基本假设是不相交集合的无限序列满足求和公式，此性质即是所谓的σ-可加性。

在1970年，梭罗维（英语：Robert M. Solovay）证明说在不假设选择公理等更多公设的状况下，勒贝格不可测集的存在性在策梅洛-弗兰克尔集合论当中是不可证明的，而他借由证明说在假定不可达基数存在的状况下，存在有一个基于策梅洛-弗兰克尔集合论且可数选择公理的模型，在其中所有的集合都是勒贝格可测的，且在其中完全版的选择公理不成立，而现在一般把这模型给称为梭罗维模型。

完全版的选择公理与吉洪诺夫定理这个点集拓朴学的基本结果等价，且与泛函分析中巴拿赫-阿劳格鲁定理及克林-米尔曼定理（英语：Krein–Milman theorem）的这两个基本结果等价；此外这公理对无限群的研究有巨大的影响，也对环论与序理论的研究造成影响（见布尔素理想定理）；然而就几何测度论（英语：Geometric measure theory）、位势论、傅立叶级数和傅立叶变换而言，决定公理及依赖选择公理的加总是足够的，而在决定公理及依赖选择公理成立的状况下，实数线上所有的子集都是勒贝格可测的。

• 巴拿赫-塔斯基定理
• 豪斯多夫悖论
• 测度
• 非博雷尔集
• 维塔利集合

注解

书目