群作用

若${\displaystyle \mathrm {G} }$ 为一个群而${\displaystyle \mathrm {X} }$ 为一个集合，则${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数

${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$ 

(其中${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$ 和${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 的像写作${\displaystyle g\cdot x}$ )，满足如下两条公理：

1. ${\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)}$  对于所有 ${\displaystyle g,h\in \mathrm {G} }$  和 ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 成立
2. ${\displaystyle e\cdot x=x}$ 对于每个${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 成立 (${\displaystyle e}$ 代表${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的幺元)

从这两条公理，可以得出对于每个${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$ ，映射${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 到${\displaystyle g\cdot x}$ 的函数是一个双射，从${\displaystyle \mathrm {X} }$ 映射到${\displaystyle \mathrm {X} }$ 。因此，也可以将${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上的群作用定义为从${\displaystyle \mathrm {G} }$ 到对称群${\displaystyle S_{X}}$ 的群同态。

若群作用${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$ 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数${\displaystyle \mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} }$ ，满足以下公理：

1. ${\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}$ 
2. ${\displaystyle x\cdot e=x}$ 

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

${\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}$ 

是一左作用，因为

${\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}$ 

而

${\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}$ 

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群G作用在集合X上的作用称为:^[1]

传递性(Transitive)

如果X是一个非空集合，对于每对数对 x,y ${\displaystyle \in }$  X，则存在一个g${\displaystyle \in }$ G，使得${\displaystyle g\cdot x=y}$ ，我们就称此作用为传递性。

忠实性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中，我们就称此作用为忠实的。换言之，就是则群G到X的置换群之中为单射。

自由性(Free)

如果给定 ${\displaystyle g,h\in G}$ ，存在${\displaystyle x\in X}$ ，则有着${\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}$ ，则称为此作用为自由性。

正则的(Regular)

同时具有自由性以及传递性的作用称为正则的，又称简单传递（英语：simply transitive）。

n-传递性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 对所有 1 ≤ k ≤ n ，我们就称其为n-传递性。

本原的(Primitive)

如果传递性作用满足只有trivial区块(block)，那我们称此作用为本原的。可以证明n-传递性皆为本原的。

轨道

若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一个元素，且群${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上有着一个作用，那么${\displaystyle x}$ 的轨道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$ 就是指以下列方式定义的${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的子集：

${\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}$ 

${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的两个轨道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$ 和${\displaystyle \mathrm {G} _{y}}$ 有一个共通元素${\displaystyle a}$ ，那么就可以找到两个${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的元素${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ ，使得${\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$ 、${\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$ ，同时有${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$ ，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$ ，而这使得这两个集合所有的元素都相等。

一个轨道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm {H} }$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的一个子集，且定义${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中元素的惯常运算规则为${\displaystyle \mathrm {H} }$ 在${\displaystyle \mathrm {G} }$ 上的一个作用，那么${\displaystyle \mathrm {H} }$ 的陪集${\displaystyle \mathrm {aH} }$ (${\displaystyle a\in \mathrm {G} }$ )就是${\displaystyle a}$ 的轨道。

不变子集

若S是X的一个子集，群G作用在X上( X 被称作G-set)，对于群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有着 ${\displaystyle g\cdot x\in S}$ ，

则我们会说 S在G的作用下是封闭的，或是说，S在G作用下是不变的

不动点与稳定子群

若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一个元素，对于群${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的所有元素${\displaystyle g}$ 而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$ ，那么就称${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ -不变的（${\displaystyle \mathrm {G} }$ -invariant）。

另外若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一个元素，则所有使得${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的元素${\displaystyle g}$ 构成的集合又称${\displaystyle \mathrm {G} }$ 对于${\displaystyle x}$ 的稳定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} }$  with respect to ${\displaystyle x}$ ），一般常常将之记作${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ (注意：不要将之与上面轨道的符号混淆)。

${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的一个子群，因为根据定义${\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }$ ，因此${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的单位元${\displaystyle e}$ 属于${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ ，且假若${\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }$ ，那么${\displaystyle m}$ 的逆元${\displaystyle m^{-1}}$ 也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ 的元素，因为${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$ 。

轨道－稳定点定理与伯恩赛德引理

考虑一个映射${\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}}$  可以证明此映射是一个双射的函数，而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理 ${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$ 

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理，${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$ 

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。^[2]

1. ^ Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905. 
2. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.