伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（英语：William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)^[1]。

下文中，设 $G$ 是一个有限群，作用在集合 $X$ 上。对每个 $g$ 属于 $G$ 令 $X^{g}$ 表示 $X$ 中在 $g$ 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 $|X/G|$ ）由如下公式给出：^[2]

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.\,

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

应用举例

使用三种颜色对立方体的面染色，旋转后相同的视为一种，染色方式总数可以由这个公式确定。

选取一个定向，设 X 是这个定向立方体所有 3⁶ 种可能面染色组合，立方体的旋转群自然作用在 X 上。则 X 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数，可以通过数 G 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。

立方体面染色

一个恒同元素保持 X 的所有 3⁶ 个元素不变。
六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。
三个 180 度面旋转，每一个保持 X 的 3⁴ 个元素不变。
八个 120 度顶点旋转，每一个保持 X 的 3² 个元素不变。
六个 180 度边旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。

这些自同构的详细检验可参见循环指标（英语：Cycle index）。

这样，平均不动集合的大小是

{\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3}\right)=57.\,

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地，使用 n 种颜色，立方体不同的旋转面染色数是

{\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).\,

证明

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实：

\sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|

=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}

=|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.

历史：该引理不属于伯恩赛德

威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理，将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前，这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上，这个引理明显如此有名，伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此，这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 ^[3]。这可能看起来不那么有歧义，伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

注释

^ 伯恩赛德 1897，§119
^ Rotman 1995，Chapter 3
^ 纽曼 1979

另见

波利亚计数定理

参考文献

伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
纽曼, 彼得·迈克尔, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .

[1] 伯恩赛德 1897，§119

[2] Rotman 1995，Chapter 3

[3] 纽曼 1979

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[2]

[3]