伯恩赛德引理

伯恩赛德引理Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德英语William Burnside波利亚柯西弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]

下文中,设 是一个有限作用在集合 上。对每个 属于 表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作 )由如下公式给出:[2]

从而轨道数(是一个自然数无穷)等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

应用举例

使用三种颜色对立方体的面染色,旋转后相同的视为一种,染色方式总数可以由这个公式确定。

选取一个定向,设 X 是这个定向立方体所有 36 种可能面染色组合,立方体的旋转群自然作用在 X 上。则 X 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数,可以通过数 G 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。

 
立方体面染色
  • 一个恒同元素保持 X 的所有 36 个元素不变。
  • 六个 90 度面旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。
  • 三个 180 度面旋转,每一个保持 X 的 34 个元素不变。
  • 八个 120 度顶点旋转,每一个保持 X 的 32 个元素不变。
  • 六个 180 度边旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。

这些自同构的详细检验可参见循环指标英语Cycle index

这样,平均不动集合的大小是

 

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地,使用 n 种颜色,立方体不同的旋转面染色数是

 

证明

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实:

 
 
 

历史:该引理不属于伯恩赛德

威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理,将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前,这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上,这个引理明显如此有名,伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此,这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 [3]。这可能看起来不那么有歧义,伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

注释

另见

参考文献

  • 伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
  • 弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
  • 纽曼, 彼得·迈克尔, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
  • Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
  • Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .