布尔素理想定理

在进行实际的素理想定理介绍之前，回想序理论理想就是（非空）有向的下闭集合。如果被考虑的poset有如同本文中的poset这样的二元上确界，则它可等价的特征化为下闭集合I，它闭合于二元上确界下（就是说x, y在I中蕴涵了x${\displaystyle \vee }$ y在I中）。一个理想I是素的，只要下确界x${\displaystyle \wedge }$ y在I中，你还有x在I中或y在I中。一个理想是真理想，如果它不等于整个poset。

历史上，与后来的素理想定理有关的第一个陈述实际上提及的是滤子 -- 它是关于对偶次序的理想的子集。超滤子引理声称在集合上的所有滤子都包含在某个极大的（真）滤子内 -- 它叫超滤子。回想在集合上的滤子就是它们的幂集上的布尔代数的真滤子。在这个特殊情况下，极大滤子（就是说不是任何真滤子的严格子集的滤子）和素滤子（就是说带有每个子集X和Y的并集，也包含X或Y的滤子）是一致的。所以这个陈述的（等价）对偶确保了一个幂集的所有理想都包含在一个素理想中。

上述陈述导致了各种一般化了的素理想定理，每个都存在于一个弱和一个强形式中。“弱素理想定理”声称所有“不平凡”（non-trivial）的特定类的代数都有至少一个素理想。相反的，“强素理想定理”要求不相交于给定滤子的所有理想可以扩展成仍不相交于这个滤子的素理想。在代数不是poset的情况下，你使用不同的子结构替代滤子。很多形式的这种定理实际上已知是等价的，所以“PIT”成立的断言通常被接受为相应的布尔代数陈述（BPI）是有效的断言。

类似定理的另一个变体是通过把“素理想”的每个出现都替代为“极大理想”而得到的。相应的极大理想定理（MIT）经常但不总是比它们的PIT等价者要强。

布尔素理想定理是给布尔代数的强素理想定理。形式陈述为：

设B是布尔代数，设I是理想并设F是B的一个滤子，使得I和F是不交集。则I被包含在B的不相交于F的某个素理想中。

布尔代数的弱素理想简单的声称：

所有布尔代数都包含一个素理想。

我们称呼这些陈述为弱和强BPI。这两个陈述是等价的，因为强BPI明显的蕴涵了弱BPI，而反蕴涵可以通过使用弱BPI在适当的商代数中找到素理想来完成。

可以用各种不同方式来表达BPI。为此，回想下列定理：

对于布尔代数B的任何理想I，下列是等价的：

• I是素理想。
• I是极大真理想，就是说对于任何真理想J，如果I包含在J中则I = J。
• 对于B的所有元素a，I正好包含{a, ¬a}之一。

这个定理是布尔代数的众所周知的事实。它的对偶创建了素滤子和超滤子的等价性。注意最后一个性质事实上是自对偶的 -- 只有前面的假定I是理想给出了完全特征刻画。值得提及的还有在这个定理内的所有蕴涵可以在经典Zermelo-Fraenkel集合论内证明。

因此下列布尔代数的（强）极大理想定理（MIT）等价于BPI:

设B是布尔代数，设I是一个理想并设F是B的一个滤子，使得I和F不相交。则I包含在B的不相交于F的某个极大理想内。

注意你需要"全局"极大性，而不只是关于不相交于F的极大性。这个变体产生了BPI的另一个等价特征化：

设B是布尔代数，设I是一个理想并设F是B的一个滤子，使得I和F不相交。则I包含在B的不相交于F的所有理想中极大的某个理想内。

这个陈述等价于BPI的事实可以轻易的从下列定理中看出：对于任何分配格L，如理想I在不相交于给定滤子F的L的所有理想中是极大的，则I是素理想。这个陈述的证明（它可以在ZF集合论内得出）包含关于理想的文章内。因为任何布尔代数都是分配格，这证实了想要的蕴涵。

所有上述陈述都是等价的。进一步的，你可以发现布尔代数的对偶次序完全的是布尔代数自身。因此，当采用所有前者陈述的等价对偶的时候，你可能终结于同等的适用于布尔代数的定理，但是这里所有“理想”的出现都被替代为“滤子”。值得注意的是对于被考虑的布尔代数是关于子集排序的幂集的特殊情况下，"极大滤子定理"被称为超滤子引理。

总结起来，对于布尔代数，弱和强MIT，弱和强PIT，和用滤子替代了理想的等价陈述都是等价的。已知所有这些陈述都是选择公理的推论（可利用佐恩引理轻易的证明），但是不能在经典Zermelo-Fraenkel集合论中证明。但是BPI严格的弱于选择公理，尽管这个陈述的证明是非常不平凡的。

我们前面对布尔代数讨论的元型性质可以轻易的修改来包括更一般的格，比如分配格或Heyting代数。但是，在这些情况下极大理想不同于素理想，而在PIT和MIT之间的关系是不明显的。

实际上，已发现分配格甚至Heyting代数的MIT等价于选择公理。在另一方面，已知分配格的强PIT等价于BPI（比如布尔代数MIT和PIT）。所以这个陈述严格的弱于选择公理。进一步的，观察到Heyting代数不是自对偶的，因此使用滤子替代理想在这种设置下产生不同的定理。可能令人惊奇，给Heyting代数的对偶的MIT不强于BPI，它尖锐的相对于上述的Heyting代数的MIT。

最后，素理想定理也存在于其他（非序理论的）抽象代数中。比如，环的MIT蕴涵了选择公理。这种情况需要把序理论的术语"滤子"替代为其他概念 -- 对于环"乘法闭合子集"是合适的。

在集合X上的滤子是X的非空子集的搜集，它在有限的交集和在超集下闭合。超滤子是极大滤子。超滤子引理声称所有在集合X上的所有滤子都是某个在X上的超滤子（X的非空子集的极大滤子）的一个子集。这个引理最常用在拓扑学中。

超滤子引理等价于布尔素理想定理，带有在没有选择公理的ZF集合论内等价的可证明性。在证明背后的想法是形成布尔代数的任何集合的子集都在包含下偏序，而任何布尔代数都可通过Stone表示定理表示为集合的代数。

直觉上，布尔素理想定理声称在布尔代数中有"足够"的素理想，在我们可以扩展所有理想到极大理想的意义上。这对于证明Stone布尔代数表示定理是有实践上重要性的，它是Stone对偶性的特殊情况，在其中用特定拓扑架设所有素理想的集合并可以真正的从这个数据恢复最初的布尔代数（在同构的意义下）。进一步的，已发现在应用中你可以自由的选择用素理想或素滤子来工作，因为所有理想唯一的确定一个滤子：所有它的元素的布尔补的集合。这些方式在文献中都可找到。

在一般拓扑学中被称为依赖于选择公理的很多其他定理实际上等价于BPI。例如，紧致豪斯多夫空间的积的定理等价于它。如果我们不考虑“豪斯多夫”性质我们得到等价于完全选择公理的一个定理。

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